Question

【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，C是 的中點(diǎn)，⊙O的切線BD交AC的延長線于點(diǎn)D，E是OB的中點(diǎn)，CE的延長線交切線BD于點(diǎn)F，AF交⊙O于點(diǎn)H，連接BH．
（1）求證：AC=CD；
（2）若OB=2，求BH的長．

Answer 1

【答案】
（1）解：證明：連接OC，

∵C是 的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，

∴CO⊥AB，

∵BD是⊙O的切線，

∴BD⊥AB，

∴OC∥BD，

∵OA=OB，

∴AC=CD；

（2）解：解：∵E是OB的中點(diǎn)，

∴OE=BE，

在△COE和△FBE中，

，

∴△COE≌△FBE（ASA），

∴BF=CO，

∵OB=2，

∴BF=2，

∴AF= =2 ，

∵AB是直徑，

∴BH⊥AF，

∴△ABF∽△BHF，

∴ = ，

∴ABBF=AFBH，

∴BH= = = ．

【解析】（1）連接OC，由C是 的中點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，則CO⊥AB，再由BD是⊙O的切線，得BD⊥AB，從而得出OC∥BD，即可證明AC=CD；（2）根據(jù)點(diǎn)E是OB的中點(diǎn)，得OE=BE，可證明△COE≌△FBE（ASA），則BF=CO，即可得出BF=2，由勾股定理得出AF= ，由AB是直徑，得BH⊥AF，可證明△ABF∽△BHF，即可得出BH的長．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解勾股定理的概念的相關(guān)知識(shí)，掌握直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2，以及對切線的性質(zhì)定理的理解，了解切線的性質(zhì)：1、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線2、經(jīng)過切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心3、圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑．