【題目】如圖1,在矩形ABCD中,ECB延長(zhǎng)線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),F、G分別為AE、BC的中點(diǎn),FGED相交于點(diǎn)H

1)求證:HEHG;

2)如圖2,當(dāng)BEAB時(shí),過(guò)點(diǎn)AAPDE于點(diǎn)P,連接BP,求PQPB的數(shù)量關(guān)系,并說(shuō)明理由.

【答案】1)見解析;(2PQPB,理由見解析.

【解析】

1)連接AG,并延長(zhǎng)AGDC的延長(zhǎng)線于M,連接EM,GBC的中點(diǎn),根據(jù)矩形的性質(zhì)得出∠ABG=DCB=90°,根據(jù)全等三角形的判定得出△ABG≌△MCG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出GA=GM,求出FGEM,根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠HGE=MEC,求出△DEC≌△MEC,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠DEC=MEC,求出∠HEG=HGE即可;

2)過(guò)點(diǎn)BBQBPDEQ,求出∠APE=ABE=90°,∠BEQ=BAP,∠EBQ=ABP,根據(jù)全等三角形的判定得出△BEQ≌△BAP,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出BQ=BP,PA=QE,求出△PBQ是等腰直角三角形,即可得出答案.

1)證明:連接AG,并延長(zhǎng)AGDC的延長(zhǎng)線于M,連接EM,

GBC的中點(diǎn),

BGCG,

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABG=∠DCB90°

∴∠ABG=∠MCG90°,

在△ABG和△MCG中,

,

∴△ABG≌△MCG(ASA),

GAGM,

FAE的中點(diǎn),

FAFE

FG是△AEM的中位線,

FGEM

∴∠HGE=∠MEC,

在△DCE和△MCE中,

,

∴△DEC≌△MEC(SAS)

∴∠DEC=∠MEC,

∵∠HGE=∠MEC,

∴∠HEG=∠HGE,

HEHG;

2)答:PQPB

理由:過(guò)點(diǎn)BBQBPDEQ,則∠QBP90°,

APDE,四邊形ABCD是矩形,

∴∠APE=∠ABE90°,

∵∠APO+∠AOP+∠BAP180°,∠EOB+∠ABE+∠BEP180°,∠AOP=∠EOB

∴∠BEQ=∠BAP,

∵∠QBP=∠ABE90°

∴∠EBQ=∠ABP90°﹣∠ABQ,

在△ABP和△EBQ中,

∴△BEQ≌△BAP(ASA)

BQBP,PAQE

∴△PBQ是等腰直角三角形,

PQPB

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)已知點(diǎn),點(diǎn),且投影比,則點(diǎn)坐標(biāo)可能是__________(填寫序號(hào));

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