Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，直線與雙曲線交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)．探究：由雙曲線與線段圍成的區(qū)域內(nèi)（不含邊界）整點(diǎn)的個(gè)數(shù)（點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)稱為整點(diǎn)）．①當(dāng)時(shí)，如圖，區(qū)域內(nèi)的整點(diǎn)的個(gè)數(shù)為_____；②若區(qū)域內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象，則的取值范圍是_______

Answer 1

【答案】3 或．

【解析】

①將時(shí)代入可得：直線解析式為，畫圖可得整點(diǎn)的個(gè)數(shù)；
②分兩種情況：直線在OA的下方和上方，畫圖計(jì)算邊界時(shí)點(diǎn)b的值，可得b的取值．

①當(dāng)時(shí)，則直線，

解方程得：(舍去)，

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(，)，

令，則，得：，

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，

觀察圖形，可知：

區(qū)域M內(nèi)的整點(diǎn)有（1，0），（2，0），（3，0），有3個(gè)，
故答案為：3；

②當(dāng)直線在OA下方時(shí)，

過(guò)點(diǎn)(1，-1)時(shí)，，，

∴直線的解析式為 ，

令，則，得：，

經(jīng)過(guò)點(diǎn)(，)，

作出圖象如圖所示：

觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，區(qū)域M內(nèi)的整點(diǎn)有4個(gè)，分別是：（1，0），（2，0），（3，0），（4，0）；

當(dāng)直線在OA上方時(shí)，

∵點(diǎn)(2，2)在函數(shù)的圖象上，

當(dāng)直線過(guò)(1，2)時(shí)，，

∴直線的解析式為，
當(dāng)直線過(guò)(1，3)時(shí)，，

∴直線的解析式為 ，

作出圖象如圖所示：

觀察圖象可知：當(dāng)時(shí)，區(qū)域M內(nèi)的整點(diǎn)有4個(gè)，分別是：（1，1），（1，2），（2，1），（3，1）；

綜上所述，區(qū)域M內(nèi)恰有4個(gè)整點(diǎn)，b的取值范圍是：或．

故答案為：或．