Question

【題目】如圖，在矩形中，，點(diǎn)在直線上，與直線相交所得的銳角為，點(diǎn)在直線上，，垂足為點(diǎn)，與點(diǎn)重合，，以為直徑，在的右側(cè)作半圓，點(diǎn)是半圓上任意一點(diǎn)．

（1）發(fā)現(xiàn)：連接，則線段的最大值為____________；

（2）矩形保持不動(dòng)，半圓沿直線向右平移，設(shè)平移距離為．思考：點(diǎn)E落在邊上時(shí)，求半圓與矩形重合部分的面積；

（3）探究：在平移過程中，當(dāng)半圓與矩形的邊相切時(shí)，直接寫出的值（參考數(shù)據(jù)：結(jié)果保留根號(hào)）

Answer 1

【答案】（1）10；（2）；（3）或或

【解析】

（1）當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，AM有最大值，利用勾股定理即可求解；

（2）連結(jié)OG，過點(diǎn)O作OH⊥EG，依據(jù)垂徑定理可知GE=2HE，然后在△EOH中，依據(jù)特殊銳角三角函數(shù)值可求得HE的長，從而得到EG的長，接下來求得∠EOG得度數(shù)，依據(jù)扇形的面積公式即可得到結(jié)論；

（3）如圖3所示，連結(jié)OH，OA．先證明AO為∠DAF的角平分線，則∠OAF=30°，利用特殊銳角三角函數(shù)值可求得AF的長，從而可求得x的值；如圖4所示：連結(jié)OH，OA，如圖5所示：延長CB交FA與G，連結(jié)OH，OG，同理可求得的值．

（1）由題意可知EF=6，AF=8，EF⊥，

當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)E重合時(shí)，AM有最大值，最大值=；

（2）如圖2所示：連結(jié)OG，過點(diǎn)O作OH⊥EG于H．

∵∠DAF=60°，EF⊥AF，
∴∠AEF=30°．

∵OE=OG=EF=3，

∴∠AEF=∠OGE=30°，
∴∠GOE=120°．
∴GE=2EH=2OE=6=3，OH=OE=，

∴S重合部分=S扇形GOE-S△GOE=；

（3）如圖3所示，AD為圓O的切線，H為切點(diǎn)，連結(jié)OH，OA．

則OH⊥AD．
又∵OF⊥AF，OH=OF，∠DAF=60°，
∴AO為∠DAF的角平分線，
∴∠OAF=∠DAF =30°．
∴AF=OF=3．
∴；

如圖4所示：AB為圓O的切線，H為切點(diǎn)，連結(jié)OH，OA．

∵AH、AF均為圓O的切線，∠DAF=60°，
∴OA為∠HAF的角平分線，
∴∠OAF==75°，
∴，即AF．
∴；

如圖5所示：BC為圓O的切線，H為切點(diǎn)，延長CB交直線于G，連結(jié)OH，OG．

∵BC、FG為圓O的切線，
∴OG平分∠HGF，

∵四邊形ABCD為矩形，

∴AD∥BC，

∴∠HGF =∠DAP=60°．
∴∠OGF=∠HGF =30°．

∵，，
∴AG=，FG=3，
∴AF= AG- FG=．
∴；

綜上所述，當(dāng)的值為或或時(shí)，半圓O與矩形ABCD的邊相切．