Question

【題目】如圖，∠AOB=45°，點(diǎn)M，N在邊OA上，點(diǎn)P是邊OB上的點(diǎn)．

（1）利用直尺和圓規(guī)在圖1確定點(diǎn)P，使得PM=PN；

（2）設(shè)OM=x，ON=x+4，

①若x=0時(shí)，使P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P有　　個(gè)；

②若使P、M、N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是____________．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①3；②：x=0或x=4﹣4或4＜x＜4；

【解析】

（1）分別以M、N為圓心，以大于MN為半徑作弧，兩弧相交與兩點(diǎn)，過(guò)兩弧交

點(diǎn)的直線(xiàn)就是MN的垂直平分線(xiàn)；

（2）①分為PM=PN，MP=MN，NP=NM三種情況進(jìn)行判斷即可；②如圖3，構(gòu)建腰長(zhǎng)為4

的等腰直角△OMC，和半徑為4的⊙M，發(fā)現(xiàn)M在點(diǎn)D的位置時(shí)，滿(mǎn)足條件；如圖4，根

據(jù)等腰三角形三種情況的畫(huà)法：分別以M、N為圓心，以MN為半徑畫(huà)弧，與OB的交點(diǎn)就

是滿(mǎn)足條件的點(diǎn)P，再以MN為底邊的等腰三角形，通過(guò)畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)，無(wú)論x取何值，以MN

為底邊的等腰三角形都存在一個(gè)，所以只要滿(mǎn)足以MN為腰的三角形有兩個(gè)即可．

（1）如圖所示：

（2）①如圖所示：

故答案為：3．

②如圖3，以M為圓心，以4為半徑畫(huà)圓，當(dāng)⊙M與OB相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為C，⊙M與OA交于D，

∴MC⊥OB，

∵∠AOB=45°，

∴△MCO是等腰直角三角形，

∴MC=OC=4，

∴

當(dāng)M與D重合時(shí)，即時(shí)，同理可知：點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

如圖4，取OM=4，以M為圓心，以OM為半徑畫(huà)圓．

則⊙M與OB除了O外只有一個(gè)交點(diǎn)，此時(shí)x=4，即以∠PMN為頂角，MN為腰，符合條件的點(diǎn)P有一個(gè)，以N圓心，以MN為半徑畫(huà)圓，與直線(xiàn)OB相離，說(shuō)明此時(shí)以∠PNM為頂角，以MN為腰，符合條件的點(diǎn)P不存在，還有一個(gè)是以NM為底邊的符合條件的點(diǎn)P；

點(diǎn)M沿OA運(yùn)動(dòng)，到M1時(shí)，發(fā)現(xiàn)⊙M1與直線(xiàn)OB有一個(gè)交點(diǎn)；

∴當(dāng)時(shí)，圓M在移動(dòng)過(guò)程中，則會(huì)與OB除了O外有兩個(gè)交點(diǎn)，滿(mǎn)足點(diǎn)P恰好有三個(gè)；

綜上所述，若使點(diǎn)P，M，N構(gòu)成等腰三角形的點(diǎn)P恰好有三個(gè)，則x的值是：x=0或或

故答案為：x=0或或