Question

【題目】如圖，菱形ABCD與等邊△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．

（Ⅰ）證明：AD⊥PB；
（Ⅱ）求三棱錐C﹣PAB的高．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明：取AD中點O，連結(jié)OP、OB、BD，
∵菱形ABCD與等邊△PAD所在的平面相互垂直，
AD=2，∠DAB=60°．
∴OP⊥AD，BO⊥AD，
∵OP∩BO=O，∴AD⊥平面POB，
∵PB平面POB，∴AD⊥PB．
（Ⅱ）解：法一：∵菱形ABCD與等邊△PAD所在的平面相互垂直，AD=2，∠DAB=60°．
∴BO=PO= = ，PB= = ，
∴ = ，
= ．
設(shè)點C到平面PAB的距離為h，
∵VC﹣PAB=VP﹣ABC ，
∴ ，
∴h= = = ．
∴三棱錐C﹣PAB的高為 ．
法二：以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（0， ，0），C（﹣2， ，0），P（0，0， ），
=（1，0，﹣ ）， =（0， ，﹣ ）， =（﹣2， ，﹣ ），
設(shè)平面PAB的法向量 =（x，y，z），
則 ，
取z=1，得 =（ ），
∴點C到平面PAB的距離h= = = ，
∴三棱錐C﹣PAB的高為 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中點O，連結(jié)OP、OB、BD，推導出AD⊥平面POB，由此能證明AD⊥PB．（Ⅱ）法一：設(shè)點C到平面PAB的距離為h，由VC﹣PAB=VP﹣ABC ， 能求出三棱錐C﹣PAB的高．
法二：以O(shè)為原點，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出三棱錐C﹣PAB的高．
【考點精析】本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)的相關(guān)知識點，需要掌握垂直于同一個平面的兩條直線平行才能正確解答此題．