【題目】已知:如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2﹣4ax+1與x軸的正半軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,且OB=3OC,點(diǎn)P是第一象限內(nèi)的點(diǎn),連接BC,△PBC是以BC為斜邊的等腰直角三角形.

(1)求這個(gè)拋物線的表達(dá)式;
(2)求點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)點(diǎn)Q在x軸上,若以Q、O、P為頂點(diǎn)的三角形與以點(diǎn)C、A、B為頂點(diǎn)的三角形相似,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】
(1)

解:∵拋物線y=ax2﹣4ax+1,

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,1).

∵OB=3OC,

∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

∴9a﹣12a+1=0,


(2)

解:如圖,

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥y軸,PN⊥x軸,垂足分別為點(diǎn)M、N.

∵∠MPC=90°﹣∠CPN,∠NPB=90°﹣∠CPN,

∴∠MPC=∠NPB.

在△PCM和△PBN中, ,

∴△PMC≌△PNB,

∴PM=PN.

設(shè)點(diǎn)P(a,a).

∵PC2=PB2,

∴a2+(a﹣1)2=(a﹣3)2+a2

解得a=2.

∴P(2,2)


(3)

解:∵該拋物線對(duì)稱軸為x=2,B(3,0),

∴A(1,0).

∵P(2,2),A(1,0),B(3,0),C(0,1),

∴PO= ,AC= ,AB=2.

∵∠CAB=135°,∠POB=45°,

在Rt△BOC中,tan∠OBC= ,

∴∠OBC≠45°,∠OCB<90°,

在Rt△OAC中,OC=OA,

∴∠OCA=45°,

∴∠ACB<45°,

∴當(dāng)△OPQ與△ABC相似時(shí),點(diǎn)Q只有在點(diǎn)O左側(cè)時(shí).

(i)當(dāng) 時(shí),∴ ,

∴OQ=4,

∴Q(﹣4,0).

(ii)當(dāng) 時(shí),∴ ,

∴OQ=2,

∴Q(﹣2,0).

當(dāng)點(diǎn)Q在點(diǎn)A右側(cè)時(shí),

綜上所述,點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(﹣4,0)或(﹣2,0).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法即可得出結(jié)論;(2)先判斷出△PMC≌△PNB,再用PC2=PB2 , 建立方程求解即可;(3)先判斷出點(diǎn)Q只能在點(diǎn)O左側(cè),再分兩種情況討論計(jì)算即可.
【考點(diǎn)精析】利用二次函數(shù)的概念和二次函數(shù)的圖象對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案,需要熟知一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:一般式:y=ax2+bx+c(a≠0,a、b、c為常數(shù)),則稱y為x的二次函數(shù);二次函數(shù)圖像關(guān)鍵點(diǎn):1、開(kāi)口方向2、對(duì)稱軸 3、頂點(diǎn) 4、與x軸交點(diǎn) 5、與y軸交點(diǎn).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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(2)求證:DE=DM.

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(Ⅰ)證明:AD⊥PB;
(Ⅱ)求三棱錐C﹣PAB的高.

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(1)求平移后所得到的新拋物線的表達(dá)式,并寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)求∠CAB的正切值;
(3)如果點(diǎn)Q是新拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn),且△BCQ與△ACP相似,求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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(1)求拋物線的表達(dá)式;
(2)設(shè)點(diǎn)D是拋物線上一點(diǎn),且點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為﹣2,求△AOD的面積.

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