Question

【題目】閱讀下列材料并解決后面的問題

材料：對數(shù)的創(chuàng)始人是蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾（J．Npler，1550-1617年），納皮爾發(fā)明對數(shù)是在指數(shù)書寫方式之前，直到18世紀(jì)瑞士數(shù)學(xué)家歐拉（Evler，1707--1783）才發(fā)現(xiàn)指數(shù)與對數(shù)之間的聯(lián)系，我們知道，n個相同的因數(shù)a相乘aa…，a記為an，如23=8，此時，3叫做以2為底8的對數(shù)，記為log28，即log28=3一般地若an=b（a＞0且a≠1，b＞0），則n叫做以a為底b的對數(shù)，記為logab，即logab=n．如34=81，則4叫做以3為底81的對數(shù)，記為log381，即log381=4．

（1）計算下列各對數(shù)的值：log24=______，log216=______，log264=______；

（2）通過觀察（1）中三數(shù)log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式是______；

（3）拓展延伸：下面這個一股性的結(jié)論成立嗎？我們來證明logaM+logaN=logaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

證明：設(shè)logaM=m，logaN=n，

由對數(shù)的定義得：am=M，an=N，

∴aman=am+n=MN，

∴logaMN=m+n，

又∵logaM=m，logaN=n，

∴logaM+logaN=logaMN（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）；

（4）仿照（3）的證明，你能證明下面的一般性結(jié)論嗎？logaM-logaN=loga（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（5）計算：log34+log39-log312的值為______．

Answer 1

【答案】（1）2，4，6；（2）log24+log216=log264；（4）見解析；（5）1

【解析】

（1）直接根據(jù)定義計算即可；

（2）根據(jù)計算的值可得等量關(guān)系式：log24+log216=log264；

（4）根據(jù)同底數(shù)冪的除法可得結(jié)論；

（5）直接運用（3）（4）中得出的公式即可將原式化簡為：log3，再利用閱讀材料中的定義計算即可．

解：（1）log24=log222=2，log216=log224=4，log264=log226=6；

故答案為：2，4，6；

（2）通過觀察（1）中三數(shù)log24、log216、log264之間滿足的關(guān)系式是：log24+log216=log264；

（4）證明：設(shè)logaM=m，logaN=n，

由對數(shù)的定義得：am=M，an=N，

∴am÷an=am-n=，

∴loga=m-n，

又∵logaM=m，logaN=n，

∴logaM-logaN=loga（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）

（4）log34+log39-log312，

=log3，

=log33，

=1.

故答案為：1．