Question

【題目】△ABC中，BC=AC=5，AB=8，CD為AB邊上的高，如圖1，A在原點(diǎn)處，點(diǎn)B在y軸正半軸上，點(diǎn)C在第一象限，若A從原點(diǎn)出發(fā)，沿x軸向右以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)的速度運(yùn)動(dòng)，則點(diǎn)B隨之沿y軸下滑，并帶動(dòng)△ABC在平面上滑動(dòng)．如圖2，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間表為t秒，當(dāng)B到達(dá)原點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．

（1）當(dāng)t=0時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；
（2）當(dāng)t=4時(shí)，求OD的長(zhǎng)及∠BAO的大小；
（3）求從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線的長(zhǎng)；
（4）當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，求t的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，

∵BC=AC，CD⊥AB，

∴D為AB的中點(diǎn)，

∴AD= AB=4．

在Rt△CAD中，CD= =3，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，4）

（2）

解：如圖2，

當(dāng)t=4時(shí)，AO=4，

在Rt△ABO中，D為AB的中點(diǎn)，OD= AB=4，

∴OA=OD=AD=4，

∴△AOD為等邊三角形，

∴∠BAO=60°

（3）

解：如圖3，

從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線是弧DD1，其中，OD=OD1=4，

又∵∠D1OD=90°﹣60°=30°，

∴

（4）

解：分兩種情況：①設(shè)AO=t1時(shí)，⊙C與x軸相切，A為切點(diǎn)，如圖4．

∴CA⊥OA，

∴CA∥y軸，

∴∠CAD=∠ABO．

又∵∠CDA=∠AOB=90°，

∴Rt△CAD∽R(shí)t△ABO，

∴ ，即 = ，

解得t1= ；

②設(shè)AO=t2時(shí)，⊙C與y軸相切，B為切點(diǎn)，如圖5．

同理可得，t2= ．

綜上可知，當(dāng)以點(diǎn)C為圓心，CA為半徑的圓與坐標(biāo)軸相切時(shí)，t的值為 或

【解析】（1）先由BC=AC，CD為AB邊上的高，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出D為AB的中點(diǎn)，則AD= AB=4，然后在Rt△CAD中運(yùn)用勾股定理求出CD=3，進(jìn)而得到點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，當(dāng)t=4時(shí)即AO=4，先由D為AB的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出OD= AB=4，則OA=OD=AD=4，判定△AOD為等邊三角形，然后根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)求出∠BAO=60°；（3）從t=0到t=4這一時(shí)段點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路線是弧DD1 ， 由∠D1OD=30°，OD=4，根據(jù)弧長(zhǎng)的計(jì)算公式求解；（4）分兩種情況：①⊙C與x軸相切，根據(jù)兩角對(duì)應(yīng)相等的兩三角形相似證明△CAD∽△ABO，得出 ，求出AO的值；②⊙C與y軸相切，同理，可求出AO的值．