Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，AC：BC=4：3，點(diǎn)P在AB上AP=2．點(diǎn)E、F同時(shí)從點(diǎn)P出發(fā)，分別沿PA、PB以每秒1個(gè)單位長度的速度向點(diǎn)A、B勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E到達(dá)點(diǎn)A后以原速度沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止．點(diǎn)E也隨之停止運(yùn)動(dòng)．在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)過程中．以EF為邊作正方形 EFGH，使它與△ABC在線段AB的同側(cè)，設(shè)點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒（t＞0），正方形 EFGH它與△ABC重疊部分的面積為S．
（1）寫出AC、BC的長；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，正方形 EFGH的邊長是______，當(dāng)t=3時(shí)，正方形 EFGH的邊長為______；
（3）當(dāng)0＜t≤2時(shí)，求S與t的函數(shù)關(guān)系式．
（4）直接寫出，在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)正方形 EFGH它與△ABC重疊部分是直角梯形時(shí)t的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設(shè)AC=4x，則BC=3x，根據(jù)勾股定理可得方程，從而求出AC、BC的長；
（2）當(dāng)t=1時(shí)，可得，EP=1，PF=1，EF=2即為正方形EFGH的邊長；當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，即EF=4；
（3）正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀，依次為正方形、五邊形和梯形；可分三段分別解答：①當(dāng)0＜t≤時(shí)；②當(dāng)＜t≤時(shí)；③當(dāng)＜t≤2時(shí)；依次求S與t的函數(shù)關(guān)系式；
（4）E點(diǎn)與A點(diǎn)重合或F點(diǎn)與B點(diǎn)重合時(shí)，正方形EFGH與△ABC重疊部分是直角梯形，依此得到t的取值．
解答：解：（1）設(shè)AC=4x，則BC=3x，依題意有
（4x）²+（3x）²=10²，
解得x₁=2，x₂=-2（負(fù)值舍去），
則AC=4x=8、BC=3x=6．
故AC的長為8、BC的長為6；

（2）當(dāng)t=1時(shí)，則PE=1，PF=1，
∴正方形EFGH的邊長是2；
當(dāng)t=3時(shí)，PE=1，PF=3，
∴正方形EFGH的邊長是4．
故答案為：2，4；

（3）當(dāng)正方形EFGH與△ABC重疊部分的形狀為正方形時(shí)，0＜t≤，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是S=2t×2t=4t²；
當(dāng)t=時(shí)EFGM是梯形，
故當(dāng)＜t≤時(shí)，
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=4t²-×[2t-（2-t）]×[2t-（2-t）]，
=-t²+t-；
當(dāng)＜t≤2時(shí)；
S與t的函數(shù)關(guān)系式是：
S=（t+2）×（t+2）-×（2-t）（2-t）=3t；

（4）當(dāng)t=1或6時(shí)，正方形EFGH與△ABC重疊部分是直角梯形．
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)問題，其中應(yīng)用到了相似形、正方形及勾股定理的性質(zhì)，鍛煉了學(xué)生運(yùn)用綜合知識(shí)解答題目的能力．