Question

【題目】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分別是AB、AC的中點，連接CD．過E作EF∥DC交BC的延長線于F．

（1）證明：四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）若四邊形CDEF的周長是18cm，AC的長為6cm，求線段AB的長度．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AB＝10cm．

【解析】

（1）由三角形中位線定理推知ED∥FC，然后結(jié)合已知條件“EF∥DC”，利用兩組對邊相互平行得到四邊形DCFE為平行四邊形；
（2）根據(jù)在直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半得到AB=2DC，即可得出四邊形DCFE的周長=AB+BC，故BC=18-AB，然后根據(jù)勾股定理即可求得．

（1）∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴ED是Rt△ABC的中位線，

∴ED∥FC，

又 EF∥DC，

∴四邊形CDEF是平行四邊形；

（2）∵四邊形CDEF是平行四邊形；

∴DC＝EF，DE=CF

∵DC是Rt△ABC斜邊AB上的中線，

∴AB＝2DC，

∵D、E分別是AB、AC的中點，

∴BC＝2DE，

∴四邊形DCFE的周長＝AB+BC，

∵四邊形DCFE的周長為18cm，AC的長6cm，

∴BC＝18﹣AB，

∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，

∴AB2＝BC2+AC2，即AB2＝（18﹣AB）2+62，

解得：AB＝10cm，