Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，以AC為直徑作⊙O，OB交⊙O于E，AE的延長(zhǎng)線交BC于D，連接CE．
（1）求證：△BED∽△BCE．
（2）若AC=4，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

（1）證明：如圖，
∵AC為⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠4=∠1，
∵OA=OB，
∴∠3=∠4，
而∠3=∠2，
∴∠2=∠4，
∴∠2=∠1，
∵∠EBD=∠CBE，
∴△BED∽△BCE；

（2）解：∵AC=4，
∴OC=OE=2，BC=4，
在Rt△OCB中，OB==2，
∴BE=OB-OE=2-2，
設(shè)CD=x，則BD=4-x，
∵△BED∽△BCE，
∴BE：BC=BD：BE，
∴（2-2）：4=（4-x）：（2-2），
∴x=2-2，即CD的長(zhǎng)為2-2．
分析：（1）根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠AEC=90°，而∠ACB=90°，根據(jù)等角的余角相等得到∠4=∠1，易得∠4=∠3=∠2，則∠2=∠1，又∠EBD=∠CBE，根據(jù)相似三角形的判定即可得到結(jié)論；
（2）由AC=4得到OC=OE=2，BC=4，利用勾股定理計(jì)算出OB═2，則BE=OB-OE=2-2，設(shè)CD=x，則BD=4-x，利用△BED∽△BCE得到BE：BC=BD：BE，則有（2-2）：4=（4-x）：（2-2），
然后解方程求出x即可．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的綜合題：直徑所對(duì)的圓周角為直角；利用勾股定理和相似三角形的相似比進(jìn)行幾何計(jì)算是常用的方法．