Question

（1）如圖，已知△ABC中，O為∠ABC和∠ACB的平分線BO，CO的交點．試猜想∠BOC和∠A的關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖，若O為∠ABC和∠ACB外角的平分線BO，CO的交點，則∠BOC與∠A的關(guān)系又該怎樣？為什么？

Answer 1

分析：根據(jù)“三角形的外角等于與其不相鄰的兩內(nèi)角和”和角平分線性質(zhì)．
（1）先列出∠A、∠ABC、∠ACB的關(guān)系，再列出∠BOC、∠OBC、∠OCB的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACB和∠OCB的關(guān)系；
（2）列出∠A、∠ABC、∠ACE的關(guān)系，再列出∠OBC、∠O、∠OCE的關(guān)系，然后列出∠ABC和∠OBC、∠ACE和∠OCE的關(guān)系．

解答：解：（1）∠BOC=

1

2

∠A+90°．
∵如圖，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
在△BOC中，∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACB的平分線，
∴∠ABC=2∠OBC，∠ACB=2∠OCB，
∴∠BOC+

1

2

∠ABC+

1

2

∠ACB=180°，
又∵在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠BOC=

1

2

∠A+90°；

（2）∠BOC=

1

2

∠A．
∵∠A+∠ABC=∠ACE．
∵∠OBC+∠BOC=∠OCE，
∵BO，CO分別是∠ABC和∠ACE的平分線，
∵∠ABC=2∠OBC，∠ACE=2∠OCE，
由以上各式可推得∠BOC=

1

2

∠A．

點評：本題涉及角平分線及三角形的內(nèi)角和定理等知識，難度一般．