Question

【題目】如圖，矩形ABCD中，對角線AC的垂直平分線交AD、BC于點E、F，AC與EF交于點O，連結(jié)AF、CE．

（1）求證：四邊形AFCE是菱形；

（2）若AB=3，AD=4，求菱形AFCE的邊長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】

試題分析：（1）由矩形的性質(zhì)得出AD∥BC，∠EAO=∠FCO，證明△AEO≌△CFO，得出AE=CF，證出四邊形AFCE是平行四邊形，再由對角線AC⊥EF，即可得出結(jié)論；

（2）設(shè)AF=CF=x，則BF=4-x，在Rt△ABF中，根據(jù)勾股定理得出方程，解方程即可．

試題解析：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，AD=BC，

∴∠EAO=∠FCO，

∵EF是AC的垂直平分線，

∴AO=CO，∠EOA=∠FOC=90°，

在△AEO和△CFO中，

，

∴△AEO≌△CFO（ASA），

∴AE=CF，

∴四邊形AFCE是平行四邊形，

又∵AC⊥EF，

∴四邊形AFCE是菱形；

（2）解：∵四邊形AFCE是菱形，

∴AF=CF，

設(shè)AF=CF=x，則BF=4-x，

在Rt△ABF中，AF2=AB2+BF2，

即x2=32+（4-x）2，

解得 x=，

∴菱形AFCE的邊長為．