Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c（b，c為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（5，3），點(diǎn)C（0，8），頂點(diǎn)為點(diǎn)M，過點(diǎn)A作AB∥x軸，交y軸于點(diǎn)D，交該二次函數(shù)圖象于點(diǎn)B，連結(jié)BC．

（1）求該二次函數(shù)的解析式及點(diǎn)M的坐標(biāo)；

（2）求△ABC的面積；

（3）若將該二次函數(shù)圖象向下平移m（m＞0）個(gè)單位，使平移后得到的二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)落在△ABC的內(nèi)部（不包括△ABC的邊界），求m的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y=﹣x2+4x+8，M（2，12）；（2）15；（3）6＜m＜9．

【解析】試題分析：（1）把點(diǎn)A、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，用待定系數(shù)法求出拋物線解析式；

（2）結(jié)合點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)，三角形的面積公式進(jìn)行解答；

（3）點(diǎn)M是沿著對(duì)稱軸直線x=2向下平移的，可先求出直線AC的解析式，將x=2代入求出點(diǎn)M在向下平移時(shí)與AC、AB相交時(shí)y的值，即可得到m的取值范圍．

解：（1）把點(diǎn)A（5，3），點(diǎn)C（0，8）代入二次函數(shù)y=﹣x2+bx+c，得

，

解得，

∴二次函數(shù)解析式為y=﹣x2+4x+8，配方得y=﹣（x﹣2）2+12

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，12）；

（2）由（1）知，拋物線的對(duì)稱軸是x=2．

∵A（5，3），AB∥x軸，

∴AB=6，D（0，3）

∵C（0，8），

∴CD=5，

∴△ABC的面積=ABCD=×6×5=15，

即△ABC的面積=15；

（3）設(shè)直線AC解析式為y=kx+b，把點(diǎn)A（5，3），C（0，8）代入，

解得，

∴直線AC的解析式為y=﹣x+8，對(duì)稱軸直線x=2與△ABC兩邊分別交于點(diǎn)E、點(diǎn)F，

把x=2代入直線AC解析式y=﹣x+8，

解得y=6，則點(diǎn)E坐標(biāo)為（2，6），點(diǎn)F坐標(biāo)為（2，3）

∴3＜12﹣m＜6，解得6＜m＜9．