Question

【題目】如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，AC為⊙O的直徑，D為的中點，過點D作DE∥AC，交BC的延長線于點E．

（1）判斷DE與⊙O的位置關系，并說明理由；

（2）若CE＝，AB＝6，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）DE與⊙O相切；理由見解析；（2）4.

【解析】

（1）連接OD，由D為的中點，得到，進而得到AD=CD，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠DOA＝∠ODE＝90°，求得OD⊥DE，于是得到結論；
（2）連接BD，根據(jù)四邊形對角互補得到∠DAB＝∠DCE，由得到∠DAC＝∠DCA＝45°，求得△ABD∽△CDE，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．

（1）解：DE與⊙O相切

證：連接OD，在⊙O中

∵D為的中點

∴

∴AD＝DC

∵AD＝DC，點O是AC的中點

∴OD⊥AC

∴∠DOA＝∠DOC＝90°

∵DE∥AC

∴∠DOA＝∠ODE＝90°

∵∠ODE＝90°

∴OD⊥DE

∵OD⊥DE，DE經(jīng)過半徑OD的外端點D

∴DE與⊙O相切.

（2）解：連接BD

∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形

∴∠DAB＋∠DCB＝180°

又∵∠DCE＋∠DCB＝180°

∴∠DAB＝∠DCE

∵AC為⊙O的直徑，點D、B在⊙O上,

∴∠ADC＝∠ABC＝90°

∵,

∴∠ABD＝∠CBD＝45°

∵AD＝DC，∠ADC＝90°

∴∠DAC＝∠DCA＝45°

∵DE∥AC

∴∠DCA＝∠CDE＝45°

在△ABD和△CDE中

∵∠DAB＝∠DCE，∠ABD＝∠CDE＝45°

∴△ABD∽△CDE

∴＝

∴＝

∴AD＝DC＝4, CE＝，AB＝6，

在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，AD＝DC＝4，

∴AC＝＝8

∴⊙O的半徑為4.