Question

【題目】如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，的長(zhǎng)為半徑作，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，連接，，．

（1）求證：是的切線；

（2）填空：

①當(dāng)四邊形是周長(zhǎng)為20的菱形時(shí)， ；

②當(dāng) 時(shí)，四邊形是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）①，②．

【解析】

（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，由于∠E=∠EFA，則∠FAB=∠CAB，可證明△ABC≌△ABF，從而得到∠AFB=90°，然后根據(jù)切線的判定方法可判斷BF是⊙A的切線；

（2）①通過(guò)菱形得到△ADF為等邊三角形，然后通過(guò)特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可；②由正方形對(duì)角線和邊的倍數(shù)關(guān)系即可得到答案．

（1）證明：∵EF∥AB，
∴∠E=∠CAB，∠EFA=∠FAB，
∵AE=AF，

∴∠E=∠EFA，
∴∠FAB=∠CAB，
在△ABC和△ABF中，
，
∴△ABC≌△ABF（SAS），
∴∠AFB=∠ACB=90°，
∴BF⊥AF，
∵AF是⊙A的半徑，
∴BF是⊙A的切線；

（2）①若四邊形是周長(zhǎng)為20的菱形，

則AD=DF=5，

∵AD=AF

∴AD=AF=DF=5，即△ADF為等邊三角形，

∴∠DAF=60°，

∵∠AFB=90°，

∴，

∴；

②若四邊形是正方形，

則AB是正方形的對(duì)角線，

由于AE=AC=AF，

∴．