【題目】如圖1,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D為AC邊上一點(diǎn),且CD=2AD=4,過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E.
(1)求AB的長;
(2)如圖2,將△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°,延長DE交AC于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)F,連接CF.
求證:點(diǎn)F是AB的中點(diǎn).
(3)如圖3,在△ADE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的過程中,當(dāng)DE的延長線恰好經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),若點(diǎn)P為BD的中點(diǎn),連接CP、PF.
求證:∠PCE=∠PEC.
【答案】(1)4 ;(2)見解析;(3)見解析;
【解析】分析:(1)求出AC的長后,根據(jù)直角三角形中的30°角結(jié)合勾股定理求解;(2)判斷△ADF是含30°角的直角三角形,則AD=2,由勾股定理求AF的長,結(jié)合AB的長求證;(3)證點(diǎn)B,C,P,F四點(diǎn)共圓得∠BPC=60°,證點(diǎn)A,E,C,B四點(diǎn)共圓得∠BEC=30°.
詳解:(1)∵CD=2AD=4,∴AC=6,
設(shè)BC=x,則AB=2x.
在Rt△ABC中,由勾股定理得AB2=AC2+BC2,即(2x)2=62+x2.
解得,AB=.
(2)由題意得:∠DAG=∠EAF=60°,∠D=90°-∠DAE=60°,
則∠DAB=90°,
所以DF=2AD=4,由勾股定理得AF=,
∴AF=AB,即F是AB的中點(diǎn).
(3)∵點(diǎn)P,點(diǎn)F分別是BD,BA的中點(diǎn),
∴PF∥AD,∴∠FPB=∠D=60°,
由(2)可知,AF=CF,
∵∠FCA=∠FAC=30°,∴∠BCF=60°,
∴∠FPB=∠BCF,∴C,B,F,P四點(diǎn)共圓,
∴∠CPB=∠CFB=60°,∵∠AEB=∠ACB=90°,
∴A,E,C,B四點(diǎn)共圓,∴∠CEP=∠CAB=30°,
∴∠ECP=∠CPB-∠CEP=30°,
∴∠PCE=∠PEC.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)今“微信運(yùn)動(dòng)”被越來越多的人關(guān)注和喜愛,某興趣小組隨機(jī)調(diào)查了我市50名教師某日“微信運(yùn)動(dòng)”中的步數(shù)情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下的統(tǒng)計(jì)圖表(不完整):
步數(shù) | 頻數(shù) | 頻率 |
0≤x<4000 | 8 | a |
4000≤x<8000 | 15 | 0.3 |
8000≤x<12000 | 12 | b |
12000≤x<16000 | c | 0.2 |
16000≤x<20000 | 3 | 0.06 |
20000≤x<24000 | d | 0.04 |
請(qǐng)根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)寫出a,b,c,d的值并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;
(2)本市約有37800名教師,用調(diào)查的樣本數(shù)據(jù)估計(jì)日行走步數(shù)超過12000步(包含12000步)的教師有多少名?
(3)若在50名被調(diào)查的教師中,選取日行走步數(shù)超過16000步(包含16000步的兩名教師與大家分享心得,求被選取的兩名教師恰好都在20000步(包含20000步)以上的概率.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A,B,C,回答下列問題:
(1)若將點(diǎn)B向右移動(dòng)6個(gè)單位后,三個(gè)點(diǎn)所表示的數(shù)中最小的數(shù)是多少?
(2)在數(shù)軸上找一點(diǎn)D,使點(diǎn)D到A,C兩點(diǎn)的距離相等,寫出點(diǎn)D表示的數(shù);
(3)在點(diǎn)B左側(cè)找一點(diǎn)E,使點(diǎn)E到點(diǎn)A的距離是到點(diǎn)B的距離的2倍,并寫出點(diǎn)E表示的數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正方形ABCD的邊長為 ,點(diǎn)E、F分別為邊AD、CD上一點(diǎn),將正方形分別沿BE、BF折疊,點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)M恰好落在BF上,點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)N恰好落在BE上,則圖中陰影部分的面積為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某校的春季趣味運(yùn)動(dòng)會(huì)深受學(xué)生喜愛,該校體育教師為了了解該次運(yùn)動(dòng)會(huì)中四個(gè)項(xiàng)目的受歡迎程度,隨機(jī)抽取了部分學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查,被調(diào)查學(xué)生須從“托球跑、擲飛盤、推小車、鴨子步”四個(gè)項(xiàng)目中選擇自己最喜歡的一項(xiàng).
根據(jù)調(diào)查結(jié)果,體育教師繪制了圖1和圖2兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖(均未完成),請(qǐng)根據(jù)圖1和圖2的信息,解答下列問題.
(1)此次共調(diào)查了多少名學(xué)生?
(2)將條形統(tǒng)計(jì)圖補(bǔ)充完整.
(3)圖2中“鴨子步”所在扇形圓心角為多少度?
(4)若全校有學(xué)生1600人,估計(jì)該校喜歡“推小車”項(xiàng)目的學(xué)生人數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商場舉行“促銷周”活動(dòng),每個(gè)促銷日顧客人數(shù)變化如下表(正號(hào)表示人數(shù)比前一天多,負(fù)號(hào)表示比前一天少)
日期 | 第1日 | 第2日 | 第3日 | 第4日 | 第5日 | 第6日 | 第7日 |
人數(shù)變化(單位:千人) |
(1)本“促銷周”中顧客人數(shù)最多的一天比最少的一天多幾千人?
(2)若第一個(gè)促銷日前一天的顧客人數(shù)為3千人,則第3個(gè)促銷日的顧客人數(shù)是多少千人?
(3)如果每千人每日帶來的經(jīng)濟(jì)收入約為5萬元,則該商場本“促銷周”總收入約為多少萬元?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】【題目】有一副直角三角板,在三角板ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=6,在三角板DEF中,∠FDE=90°,DF=4,DE=.將這副直角三角板按如圖1所示位置擺放,點(diǎn)B與點(diǎn)F重合,直角邊BA與FD在同一條直線上.現(xiàn)固定三角板ABC,將三角板DEF沿射線BA方向平行移動(dòng),當(dāng)點(diǎn)F運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)停止運(yùn)動(dòng).
(1)如圖2,當(dāng)三角板DEF運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D與點(diǎn)A重合時(shí),設(shè)EF與BC交于點(diǎn)M,則∠EMC= 度;
(2)如圖3,在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中,當(dāng)EF經(jīng)過點(diǎn)C時(shí),求FC的長;
(3)在三角板DEF運(yùn)動(dòng)過程中,設(shè)BF=x,兩塊三角板重疊部分的面積為y,求y與x的函數(shù)解析式,并求出對(duì)應(yīng)的x取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)O為原點(diǎn),A、B為數(shù)軸上兩點(diǎn),AB=15,且OA:OB=2:1,點(diǎn)P從點(diǎn)B以每秒4個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng).
(1)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為 、 ;
(2)當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),分別取BP的中點(diǎn)E,AO的中點(diǎn)F,請(qǐng)畫圖,并求出的值;
(3)若當(dāng)點(diǎn)P開始運(yùn)動(dòng)時(shí),點(diǎn)A、B分別以每秒2個(gè)單位和每秒5個(gè)單位的速度同時(shí)向右運(yùn)動(dòng),是否存在常數(shù)m,使得3AP+2OP﹣mBP為定值?若存在,請(qǐng)求出m的值以及這個(gè)定值;若不存在,請(qǐng)說明理由.
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