Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點(diǎn)P為拋物線在第二象限上的一點(diǎn)，設(shè)△PAC的面積為S，求S的最大值并求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（3）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，DE⊥x軸于點(diǎn)E，在y軸上是否存在點(diǎn)M，使得△ADM是等腰三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線y=﹣x2﹣2x+3；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，，）；（3）M（0，1）．

【解析】

試題分析：（1）用待定系數(shù)法求出a，b，c，即可求解；

（2）用S=S△AOP+S△COP﹣S△AOC計(jì)算即可；

（3）設(shè)M（0，m）先判定△AOM≌△MFD，求出m即可．

試題解析：（1）∵拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）．

∴，∴，

∴拋物線y=﹣x2﹣2x+3；

（2）如圖所示，

設(shè)P（x，﹣x2﹣2x+3），（﹣3＜x＜0），

∵OA=3，OC=3，

∴S=S△AOP+S△COP﹣S△AOC

= OA×|yP|+OA×|xP|﹣OA×OC

=×3×（﹣x2﹣2x+3）+×3×（﹣x）﹣×3×3

=﹣x2﹣x

=﹣（x+）2+，

∴當(dāng)x=﹣時(shí)，S最大=，

∴﹣（﹣）2﹣2×（﹣）+3=，

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（﹣，），

（3）如圖所示，當(dāng)△ADM是等腰直角三角形，只能∠AMD=90°，

設(shè)M（0，m），過D作DF⊥x軸，∴F（0，4），∴OM=m，PM=4﹣m，DF=1，

∴△AOM≌△MFD，∴OM=DF=1，PM=OA=3，∴m=1,4-m=3，∴m=1，

∴M（0，1）