如圖,在邊長為8的正方形ABCD中,點O為AD上一動點(4<OA<8),以O為圓心,OA的長為半徑的圓交邊CD于點M,連接OM,過點M作⊙O的切線交邊BC于N.
(1)求證:△ODM∽△MCN;
(2)設DM=x,求OA的長(用含x的代數(shù)式表示);
(3)在點O的運動過程中,設△CMN的周長為P,試用含x的代數(shù)式表示P,你能發(fā)現(xiàn)怎樣的結論?

【答案】分析:(1)依題意可得∠OMC=∠MNC,然后可證得△ODM∽△MCN.
(2)設DM=x,OA=OM=R,OD=AD-OA=8-R,根據(jù)勾股定理求出OA的值.
(3)由1可求證△ODM∽△MCN,利用線段比求出CN,MN的值.然后可求出△CMN的周長等于CM+CN+MN,把各個線段消去代入可求出周長.
解答:(1)證明:∵MN切⊙O于點M,
∴∠OMN=90°;(1分)
∵∠OMD+∠CMN=90°,∠CMN+∠CNM=90°;
∴∠OMD=∠MNC;(2分)
又∵∠D=∠C=90°;
∴△ODM∽△MCN,(3分)

(2)解:在Rt△ODM中,DM=x,設OA=OM=R;
∴OD=AD-OA=8-R,(4分)
由勾股定理得:(8-R)2+x2=R2,(5分)
∴64-16R+R2+x2=R2,
;(6分)

(3)解法一:∵CM=CD-DM=8-x,
又∵
且有△ODM∽△MCN,
,
∴代入得到;(7分)
同理,
∴代入得到;(8分)
∴△CMN的周長為P==(8-x)+(x+8)=16.(9分)
發(fā)現(xiàn):在點O的運動過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個定值.(10分)
解法二:在Rt△ODM中,,
設△ODM的周長P′=;(7分)
而△MCN∽△ODM,且相似比;(8分)
,
∴△MCN的周長為P=.(9分)
發(fā)現(xiàn):在點O的運動過程中,△CMN的周長P始終為16,是一個定值.(10分)
點評:本題考查的是相似三角形的判定,正方形的判定,勾股定理、切線性質(zhì)和二次函數(shù)的綜合運用等有關知識.
練習冊系列答案
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