【題目】如圖,AB是⊙O的弦,半徑OC⊥AB交AB于點(diǎn)D,點(diǎn)P是⊙O上AB上方的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(P不與A、B重合),已知∠APB=60°,∠OCB=2∠BCM.
(1)設(shè)∠A=α,當(dāng)圓心O在∠APB內(nèi)部時(shí),寫出α的取值范圍;
(2)求證:CM是⊙O的切線;
(3)若OC=4,PB=4,求PC的長.
【答案】(1)當(dāng)圓心O在∠APB內(nèi)時(shí),α的取值范圍為30°<α<90°;(2)證明見解析;(3)2+2.
【解析】
(1)取特殊情況:當(dāng)O點(diǎn)在PA上,即AP為直徑,根據(jù)圓周定理得∠PBA=90°,而∠APB=60°,得到此時(shí)∠A=30°;當(dāng)O點(diǎn)在PB上,即BP為直徑,得到∠A=90°;由此得到當(dāng)圓心O在∠APB內(nèi)時(shí),α的取值范圍為30°<α<90°;
(2)連結(jié)OB,根據(jù)垂徑定理由OC⊥AB得到AC弧=BC弧,再根據(jù)圓周角定理得∠APB=∠BCP,于是由∠APB=60°得到∠BPC=30°,然后利用∠BOC=2∠BPC=60°可判斷△OBC為等邊三角形,則∠MCB=30°,可計(jì)算出∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°,于是根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論;
(3)作BE⊥PC于E,如圖,在Rt△PBE中,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到BE=PB=2,PE=BE=2,再由△OBC為等邊三角形得BC=OC=4,則可根據(jù)勾股定理計(jì)算出CE,然后利用PC=PE+CE進(jìn)行計(jì)算即可.
(1)當(dāng)O點(diǎn)在PA上,即AP為直徑,則∠PBA=90°,而∠APB=60°,所以此時(shí)∠A=30°;
當(dāng)O點(diǎn)在PB上,即BP為直徑,則∠A=90°;
所以當(dāng)圓心O在∠APB內(nèi)時(shí),α的取值范圍為30°<α<90°;
(2)證明:連結(jié)OB,如圖,
∵OC⊥AB,
∴,
∴∠APB=∠BCP,
∵∠APB=60°,
∴∠BPC=30°,
∴∠BOC=2∠BPC=60°,
∴△OBC為等邊三角形,
∴∠OCB=60°,
∵∠OCB=2∠BCM,
∴∠MCB=30°,
∴∠OCM=∠OCB+∠MCB=90°,
∴OC⊥MC,
∴CM與⊙O相切;
(3)作BE⊥PC于E,如圖,
在Rt△PBE中,∠BPE=30°,PB=4,
∴BE=PB=2,PE=BE=2,
∵△OBC為等邊三角形,
∴BC=OC=4,
在Rt△BEC中,CE=,
∴PC=PE+CE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為,,,以原點(diǎn)為位似中心,將縮小,使變換后得到的與對應(yīng)邊的比為,則線段的中點(diǎn)變換后對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為( )
A. (2,) B. (-2,-) C. (2,)或(-2,-) D. (8,6)或(-8,-6)
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【題目】如圖①,在矩形ABCD中,AB=8,AD=4.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā),沿A→D→C→D運(yùn)動(dòng),速度為每秒2個(gè)單位長度;點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為每秒1個(gè)單位長度.P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(秒).連結(jié)PQ、AC、CP、CQ.
(1)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí),t= ;當(dāng)點(diǎn)Q到終點(diǎn)時(shí),PC的長度為 ;
(2)用含t的代數(shù)式表示PD的長;
(3)當(dāng)三角形CPQ的面積為9時(shí),求t的值.
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【題目】探究與發(fā)現(xiàn):如圖1所示的圖形,像我們常見的學(xué)習(xí)用品--圓規(guī).我們不妨把這樣圖形叫做“規(guī)形圖”,
(1)觀察“規(guī)形圖”,試探究∠BDC與∠A、∠B、∠C之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)請你直接利用以上結(jié)論,解決以下三個(gè)問題:
①如圖2,把一塊三角尺XYZ放置在△ABC上,使三角尺的兩條直角邊XY、XZ恰好經(jīng)過點(diǎn)B、C,∠A=40°,則∠ABX+∠ACX等于多少度;
②如圖3,DC平分∠ADB,EC平分∠AEB,若∠DAE=40°,∠DBE=130°,求∠DCE的度數(shù);
③如圖4,∠ABD,∠ACD的10等分線相交于點(diǎn)G1、G2…、G9,若∠BDC=133°,∠BG1C=70°,求∠A的度數(shù).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn)D,E分別在AB,AC上,DE∥BC,F是AD上一點(diǎn),FE的延長線交BC的延長線于點(diǎn)G.求證:
(1)∠EGH>∠ADE;
(2)∠EGH=∠ADE+∠A+∠AEF.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD中,AB=4,BC=3,連接AC,⊙P和⊙Q分別是△ABC和△ADC的內(nèi)切圓,則PQ的長是( )
A. B. 2 C. D.
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【題目】如圖,AB、CD是⊙O的直徑,P為上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(不與B、C重合),PM、PN分別垂直CD、AB,垂足分別為點(diǎn)M、N.若∠AOC=60°,OA=4,則MN的長為________.
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【題目】周末,小明騎自行車從家里出發(fā)到野外郊游.從家出發(fā)0.5小時(shí)后到達(dá)甲地,游玩一段時(shí)間后按原速前往乙地.小明離家1小時(shí)20分鐘后,媽媽駕車沿相同路線前往乙地,如圖是他們離家的路程y(km)與小明離家時(shí)間x(h)的函數(shù)圖象.已知媽媽駕車的速度是小明騎車速度的3倍.
(1)求小明騎車的速度和在甲地游玩的時(shí)間;
(2)小明從家出發(fā)多少小時(shí)后被媽媽追上?此時(shí)離家多遠(yuǎn)?
(3)若媽媽比小明早10分鐘到達(dá)乙地,求從家到乙地的路程.
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【題目】如圖,矩形ABCD中,AC、BD相交于點(diǎn)O,AE平分∠BAD,交BC于E,若∠EAO=15°,則∠BOE的度數(shù)為 度.
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