Question

如圖，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=

1

2

，以點C為圓心，CB為半徑的弧交CA于點D；以點A為圓心，AD為半徑的弧交AB于點E．
（1）求AE的長度；
（2）分別以點A、E為圓心，AB長為半徑畫弧，兩弧交于點F（F與C在AB兩側(cè)），連接AF、EF，設(shè)EF交弧DE所在的圓于點G，連接AG，
①求證：△AEG∽△FEA；
②試猜想∠EAG的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)在Rt△ABC中利用勾股定理求得AC，根據(jù)BC=CD，AE=AD求得AE=AC-CD即可．
（2）①根據(jù)FA=FE=AB=1，求得AE可得△FAE是黃金三角形求證△AEG∽△FEA；
②利用①中所求可得∠EAG=∠F=36°．

解答：解：（1）在Rt△ABC中，由AB=1，BC=

1

2

得：
AC=

12+( 1 2 )2

=

5

2

，
∵BC=CD，AE=AD，
∴AE=AC-CD=

5 -1

2

．

（2）①理由如下：∵FA=FE=AB=1，AE=

5 -1

2

，
∴

AE

FA

=

5 -1

2

，
∴△FAE是黃金三角形，
∴∠F=36°，∠AEF=72°
∵AE=AG，F(xiàn)A=FE，
∴∠FAE=∠FEA=∠AGE，
∴△AEG∽△FEA，
②∵△AEG∽△FEA，
∴∠EAG=∠F=36°．

點評：此題考查了勾股定理在直角三角形中的應(yīng)用以及相似三角形的綜合應(yīng)用，利用相似三角形的性質(zhì)求證三角形相似是解題的關(guān)鍵．