【題目】在坐標系xOy中,拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A(﹣3,0)和B(1,0),與y軸交于點C,
(1)求拋物線的表達式;
(2)若點D為此拋物線上位于直線AC上方的一個動點,當△DAC的面積最大時,求點D的坐標;
(3)設拋物線頂點關于y軸的對稱點為M,記拋物線在第二象限之間的部分為圖象G.點N是拋物線對稱軸上一動點,如果直線MN與圖象G有公共點,請結合函數的圖象,直接寫出點N縱坐標t的取值范圍.
【答案】(1)y=﹣x2﹣2x+3;(2)D(﹣, );(3)當2<t≤4時,直線MN與函數圖象G有公共點.
【解析】試題分析:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),然后將a=﹣1代入即可求得拋物線的解析式;
(2)過點D作DE∥y軸,交AC于點E.先求得點C的坐標,然后利用待定系數法求得直線AC的解析式,設點D的坐標為,則E點的坐標為(x,x+3),于是得到DE的長(用含x的式子表示,接下來,可得到△ADC的面積與x的函數關系式,最后依據配方法可求得三角形的面積最大時,點D的坐標;
(3)如圖2所示:先求得拋物線的頂點坐標,于是可得到點M的坐標,可判斷出點M在直線AC上,從而可求得點N的坐標,當點N′與拋物線的頂點重合時,N′的坐標為(﹣1,4),于是可確定出t的取值范圍.
試題解析:(1)設拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1).
由題意可知:a=﹣1.
∴拋物線的解析式為y=﹣1(x+3)(x﹣1),即;
(2)如圖所示:過點D作DE∥y軸,交AC于點E.
∵當x=0時,y=3,
∴C(0,3).
設直線AC的解析式為y=kx+3.
∵將A(﹣3,0)代入得:﹣3k+3=0,解得:k=1,
∴直線AC的解析式為y=x+3.
設點D的坐標為(x, ),則E點的坐標為(x,x+3).
∴DE=﹣(x+3)=.
∴△ADC的面積=DEOA=×3×()=.
∴當x=時,△ADC的面積有最大值.
∴D.
(3)如圖2所示:
∵y==,
∴
∵點M與拋物線的頂點關于y軸對稱,
∴M(1,4).
∵將x=1代入直線AC的解析式得y=4,
∴點M在直線AC上.
∵將x=﹣1代入直線AC的解析式得:y=2,
∴N(﹣1,2).
又∵當點N′與拋物線的頂點重合時,N′的坐標為(﹣1,4).
∴當2<t≤4時,直線MN與函數圖象G有公共點.
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【題目】下列命題是真命題的是( )
A. 同旁內角相等,兩直線平行
B. 對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
C. 相等的兩個角是對頂角
D. 圓內接四邊形對角相等
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】一家今年剛成立的小型快遞公司業(yè)務量逐月攀升,今年7月份和9月份完成投送的快遞件數分別是20萬件和24.2萬件.若假設該公司每月投送的快遞件數的增長率相同,則這家公司投送快遞件數的月平均增長率為 ________________.
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【題目】在等邊△ABC中:
(1)如圖1,P,Q是BC邊上的兩點,AP=AQ,∠BAP=20°,求∠AQB的度數;
(2)點P,Q是BC邊上的兩個動點(不與點B,C重合),點P在點Q的左側,且AP=AQ,點Q關于直線AC的對稱點為M,連接AM,PM.
①依題意將圖2補全;
②小茹通過觀察、實驗提出猜想:在點P,Q運動的過程中,始終有PA=PM,小茹把這個猜想與同學們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法:
想法1:要證明PA=PM,只需證△APM是等邊三角形;
想法2:在BA上取一點N,使得BN=BP,要證明PA=PM,只需證△ANP≌△PCM;
想法3:將線段BP繞點B順時針旋轉60°,得到線段BK,要證PA=PM,只需證PA=CK,PM=CK…
請你參考上面的想法,幫助小茹證明PA=PM(一種方法即可).
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