Question

D為等邊△ABC外一點(diǎn)，且BD=CD，∠BDC=120°，點(diǎn)M，N分別在AB，AC上，若BM+CN=MN，
求證：
（1）∠MDN=60°；
（2）作出△DMN的高DH，并證明DH=BD．

Answer 1

證明：（1）延長NC到E，使CE=BM，連接DE．
∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD=CD，∠BDC=120°，
∴∠CBD=∠BCD=30°，
∴∠ABD=∠ACD=90°，
在直角△BDM和直角△CDE中，，
∴Rt△BDM≌Rt△CDE，
∴DM=DE，∠BDM=∠CDE，
∴∠MDE=∠BDC=120°，
在△MDN和△EDN中，，
∴△MDN≌△EDN，
∴∠MDN=∠EDN=60°；

（2）∵△MDN≌△EDN，
∴∠MND=∠DNE，
又∵DH⊥MN，DC⊥AC，
∴DH=DC，
∵BD=DC，
∴DH=BD．
分析：（1）延長NC到E，使CE=BM，連接DE，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)以及等邊三角形的性質(zhì)可以得到△BDM和△CDE都是直角三角形，易證這兩個(gè)三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證得；
（2）根據(jù)△MDN≌△EDN可以證得∠MND=∠DNE，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可證得．
點(diǎn)評：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的性質(zhì)，正確作出輔助線，把BM+CN=MN轉(zhuǎn)化成兩條線段相等，構(gòu)造全等的三角形是關(guān)鍵．