Question

設a，b，c，d是正整數(shù)，a，b是方程x²-（d-c）x+cd的兩個根．證明：存在邊長是整數(shù)且面積為ab的直角三角形．

Answer 1

考點：根與系數(shù)的關系,因式分解的應用,三角形三邊關系

專題：證明題

分析：首先利用根與系數(shù)的關系求得a+b=d-c，ab=cd．然后由三角形三邊關系證得存在以（a+b），（a+c），（b+c）為邊的三角形；然后由（a+c）²+（b+c）²=（a+b）²
推知該三角形是直角三角形，則：S=

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（a+c）（b+c）=

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[ab+c（a+b+c）]=

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（ab+cd）=ab．故邊長為（a+b），（a+c），（b+c）的三角形符合題設要求．

解答：證明：由題設可知a+b=d-c，ab=cd．
∵a，b，c，d是正整數(shù)，
∴（a+b），（a+c），（b+c）任意兩數(shù)之和大于第三個數(shù)，從而存在以（a+b），（a+c），（b+c）為邊的三角形．
∵（a+c）²+（b+c）²
=a²+b²+2c²+2c（a+b）
=a²+b²+2cd
=a²+b²+2ab
=（a+b）²
∴這樣的三角形是直角三角形，其直角邊長為（a+c），（b+c），斜邊長為（a+b），且該三角形的面積為：S=

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（a+c）（b+c）=

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2

[ab+c（a+b+c）]=

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2

（ab+cd）=ab．
故邊長為（a+b），（a+c），（b+c）的三角形符合題設要求．

點評：本題綜合考查了根與系數(shù)關系，因式分解的應用以及三角形三邊關系．此題難度較大．