Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系xOy中，拋物線y=﹣x2+bx+c經過點A（3，0）和點B（2，3），過點A的直線與y軸的負半軸相交于點C，且tan∠CAO= ．
（1）求這條拋物線的表達式及對稱軸；
（2）聯(lián)結AB、BC，求∠ABC的正切值；
（3）若點D在x軸下方的對稱軸上，當S△DBC=S△ADC時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（3，0）和點B（2，3）代入y=﹣x2+bx+c得到 ，

解得 ，

∴拋物線的解析式為y=﹣x2+2x+3，

對稱軸x=1

（2）解：如圖，作BE⊥OA于E．

∵A（3，0），B（2，3），tan∠CAO= ，

∴OC=1，

∴BE=OA=3，AE=OC=1，∵AEB=∠AOC，

∴△AOC≌△BEA，

∴AC=AB，∠CAO=∠BAE，

∵∠ABE+∠BAE=90°，

∴∠CAO+∠BAE=90°，

∴∠CAB=90°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC=45°，

∴tan∠ABC=1

（3）解：如圖過點C作CD∥AB交對稱軸于D，

則S△DBC=S△ADC，

∵AB⊥AC，AB∥CD，

∴AC⊥CD，

∵直線AC的解析式為y= x﹣1，

∴直線CD的解析式為y=﹣3x﹣1，當x=1時，y=﹣4，

∴點D的坐標為（1，﹣4）．

【解析】（1）把A（3，0）和點B（2，3）代入y=﹣x2+bx+c，解方程組即可解決問題．（2）如圖，作BE⊥OA于E．只要證明△AOC≌△BEA，推出△ABC是等腰直角三角形，即可解決問題．（3）如圖過點C作CD∥AB交對稱軸于D，則S△DBC=S△ADC ， 先求出直線AC的解析式，再求出直線CD的解析式即可解決問題．
【考點精析】通過靈活運用拋物線與坐標軸的交點和解直角三角形，掌握一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關系a2+b2=c2；②角的關系：A+B=90°；③邊角關系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)即可以解答此題．