Question

【題目】如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，對(duì)角線 AC、BD交于點(diǎn) M，點(diǎn)E在邊BC上，且∠DAE=∠DCB，聯(lián)結(jié)AE，AE與BD交于點(diǎn)F．

（1）求證：；

（2）連接DE，如果BF=3FM，求證：四邊形ABED是平行四邊形.

Answer 1

【答案】 (1) 證明見解析;(2) 證明見解析.

【解析】分析：（1）由AD∥BC可得出∠DAE=∠AEB，結(jié)合∠DCB=∠DAE可得出∠DCB=∠AEB，進(jìn)而可得出AE∥DC、△AMF∽△CMD，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=，根據(jù)AD∥BC，可得出△AMD∽△CMB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出=，進(jìn)而可得出=，即MD2=MFMB；

（2）設(shè)FM=a，則BF=3a，BM=4a．由（1）的結(jié)論可求出MD的長(zhǎng)度，代入DF=DM+MF可得出DF的長(zhǎng)度，由AD∥BC，可得出△AFD∽△△EFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出AF=EF，利用“對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形”即可證出四邊形ABED是平行四邊形．

詳解：（1）∵AD∥BC，∴∠DAE=∠AEB．∵∠DCB=∠DAE，∴∠DCB=∠AEB，∴AE∥DC，∴△AMF∽△CMD，∴=．

∵AD∥BC，∴△AMD∽△CMB，∴==，即MD2=MFMB．

（2）設(shè)FM=a，則BF=3a，BM=4a．

由MD2=MFMB，得：MD2=a4a，∴MD=2a，∴DF=BF=3a．

∵AD∥BC，∴△AFD∽△△EFB，∴==1，∴AF=EF，∴四邊形ABED是平行四邊形．