Question

如圖1，E為線段AB上一點，AB=4BE，以AE，BE為直徑在AB的同側(cè)作半圓，圓心分別為O₁，O₂，AC、BD分別是兩半圓的切線，C、D為切點．
（1）求證：AC=

3

BD；
（2）現(xiàn)將半圓O₂沿著線段BA向點A平移，如圖2，此時半圓O₂的直徑E′B′在線段AB上，AC′是半圓O₂的切線，C′是切點，當(dāng)

AE/

AB

為何值時，以A、C′、O₂為頂點的三角形與△BDO₁相似？

Answer 1

分析：（1）如果設(shè)⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，那么根據(jù)AB=4BE，可知R=3r．連接O₁D，O₂C，那么O₁B=5r，AO₂=7r，可在直角△BO₁D中求出BD的長，同理求出AC的長，即可得出AC，BD的比例關(guān)系；
（2）本題要分兩種情況進(jìn)行討論：
①當(dāng)∠CAO₂=∠B時，O₂C，O₁D和AO₂，BO₁分別對應(yīng)成比例．設(shè)AE′=kAB，那么可用k，r表示出AE′的長，然后代入比例關(guān)系式中即可求出k的值．
②當(dāng)∠CAO₂=∠DO₁B時，AO₂，BO₁和O₂C，BD對應(yīng)成比例，然后按①的方法即可求出此時k的值．

解答：（1）證明：連接O₁D，O₂C，設(shè)⊙O₁的半徑為R，⊙O₂的半徑為r，
則R=3r
在直角三角形BO₁D中
∵BO₁=5r，O₁D=3r
∴BD=4r，
同理可求得AC=4

3

r
∴AC=

3

BD；

（2）解：設(shè)AE′=kAB，因此AE′=8kr
①當(dāng)∠C′AO₂=∠B時，

O2C

O1D

=

AO2

BO1

，即

r

3r

=

8kr+r

5r

∴k=

1

12

，
②當(dāng)∠C′AO₂=∠BO₁D時，

O2A

O1B

=

O2C

BD

，即

8kr+r

5r

=

r

4r

∴k=

1

32

，

AE′

AB

=

1

12

或

AE′

AB

=

1

32

時，以A、C′、O₂為頂點的三角形與△BDO₁相似．

點評：本題主要考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識點，要注意（2）中要按不同的相似三角形對應(yīng)的成比例線段是不同的，因此要分類討論．不要漏解．