Question

如圖①，將一個(gè)量角器與一張等腰三角形（△ABC）紙片放置成軸對(duì)稱圖形．∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，半圓（量角器）的圓心與點(diǎn)D重合，測(cè)得CE=5cm；將量角器沿DC方向平移2cm，半圓（量角器）恰與△ABC的邊AC，BC相切，如圖②．則AB的邊長(zhǎng)為

 

cm．（精確到0.1cm）

Answer 1

分析：如圖，設(shè)圖②中半圓的圓心為O，與BC的切點(diǎn)為M，連接OM，根據(jù)切線的性質(zhì)可以得到∠OMC=90°，而根據(jù)已知條件可以得到∠DCB=45°，設(shè)AB為2x，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到CD=BD=x，而CE=5cm，又將量角器沿DC方向平移2cm，由此得到半圓的半徑為x-5，OC=x-2，然后在Rt△OCM中利用三角函數(shù)可以列出關(guān)于x的方程，解方程即可求解．

解答：解：如圖，設(shè)圖②中半圓的圓心為O，與BC的切點(diǎn)為M，
連接OM，
則OM⊥MC，
∴∠OMC=90°，
依題意知道∠DCB=45°，
設(shè)AB為2x，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CD=BD=x，
而CE=5cm，又將量角器沿DC方向平移2cm，
∴半圓的半徑為x-5，OC=x-2，
∴sin∠DCB=

OM

CO

=

2

2

，
∴

x-5

x-2

=

2

2

，
∴x=

10-2 2

2- 2

，
∴AB=2x=2×

10-2 2

2- 2

≈24.5（cm）．
故答案為：24.5．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓的切線性質(zhì)，及解直角三角形的知識(shí)．運(yùn)用切線的性質(zhì)來進(jìn)行計(jì)算或論證，常通過作輔助線連接圓心和切點(diǎn)，利用垂直構(gòu)造直角三角形解決有關(guān)問題．