Question

【題目】已知，拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）經(jīng)過原點(diǎn)，頂點(diǎn)為A（h，k）（h≠0）．
（1）當(dāng)h=1，k=2時(shí)，求拋物線的解析式；
（2）若拋物線y=tx2（t≠0）也經(jīng)過A點(diǎn)，求a與t之間的關(guān)系式；
（3）當(dāng)點(diǎn)A在拋物線y=x2﹣x上，且﹣2≤h＜1時(shí)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）

∵頂點(diǎn)為A（1，2），設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2+2，

∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴0=a（0﹣1）2+2，

∴a=﹣2，

∴拋物線解析式為y=﹣2x2+4x

（2）

∵拋物線經(jīng)過原點(diǎn)，

∴設(shè)拋物線為y=ax2+bx，

∵h(yuǎn)=﹣ ，

∴b=﹣2ah，

∴y=ax2﹣2ahx，

∵頂點(diǎn)A（h，k），

∴k=ah2﹣2ah，

拋物線y=tx2也經(jīng)過A（h，k），

∴k=th2，

∴th2=ah2﹣2ah2，

∴t=﹣a，

（3）

∵點(diǎn)A在拋物線y=x2﹣x上，

∴k=h2﹣h，又k=ah2﹣2ah2，

∴h= ，

∵﹣2≤h＜1，

∴﹣2≤ ＜1，

①當(dāng)1+a＞0時(shí)，即a＞﹣1時(shí)， ，解得a＞0，

②當(dāng)1+a＜0時(shí)，即a＜﹣1時(shí)， 解得a≤﹣ ，

綜上所述，a的取值范圍a＞0或a≤﹣

【解析】（1）用頂點(diǎn)式解決這個(gè)問題，設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2+2，原點(diǎn)代入即可．（2）設(shè)拋物線為y=ax2+bx，則h=﹣ ，b=﹣2ah代入拋物線解析式，求出k（用a、h表示），又拋物線y=tx2也經(jīng)過A（h，k），求出k，列出方程即可解決．（3）根據(jù)條件列出關(guān)于a的不等式即可解決問題．本題考查二次函數(shù)綜合題、不等式等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用參數(shù)解決問題，題目比較難參數(shù)比較多，第三個(gè)問題解不等式要注意討論，屬于中考壓軸題．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，掌握一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點(diǎn)．當(dāng)b2-4ac>0時(shí)，圖像與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac=0時(shí)，圖像與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)b2-4ac<0時(shí)，圖像與x軸沒有交點(diǎn)．即可以解答此題．