Question

【題目】如圖，AB∥CD，且AB＝2CD，E是AB的中點(diǎn)，F是邊BC上的動點(diǎn)，EF與BD相交于點(diǎn)M．

(1)求證：△EDM∽△FBM；

(2)若F是BC的中點(diǎn)，BD＝12，求BM的長；

(3)若AD＝BC，BD平分∠ABC，點(diǎn)P是線段BD上的動點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P使DPBP＝BFCD，若存在，求出∠CPF的度數(shù)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)BM＝4；(3)存在，∠CPF＝30°．

【解析】

(1)根據(jù)題意及中點(diǎn)的性質(zhì)得出四邊形CBED是平行四邊形，根據(jù)平行的性質(zhì)得出∠EDB＝∠FBM，∠DME＝∠BMF，從而得出△EDM∽△FBM；

(2)根據(jù)(1)中三角形相似的比例關(guān)系即可推理得出答案;

（3）先由角平分線的定義和平行線的性質(zhì)可得DC＝BC，結(jié)合DPBP＝BFCD可證明△PDC∽△FBP，從而∠BPF＝∠PCD，利用三角形內(nèi)角和及平角定義可證∠PDC＝∠CPF，然后通過證明△ADE是等邊三角形，可進(jìn)一步求出結(jié)論.

(1)證明：∵AB＝2CD，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，

∴DC＝EB．

又∵AB∥CD，

∴四邊形BCDE為平行四邊形．

∴ED∥BC．

∴∠EDB＝∠FBM．

又∵∠DME＝∠BMF，

∴△EDM∽△FBM；

(2)解：∵△EDM∽△FBM，

∴，

∵F是BC的中點(diǎn)，

∴DE＝BC＝2BF，

∴DM＝2BM，

∴DB＝DM+BM＝3BM，

∵DB＝12，

∴BM＝DB＝×12＝4；

(3)存在，∵DC∥AB，

∴∠CDB＝∠ABD，

∵BD平分∠ABC，

∴∠CBD＝∠ABD，

∴∠CDB＝∠CBD，

∴DC＝BC，

∵DPBP＝BFCD，

∴，

∴△PDC∽△FBP，

∴∠BPF＝∠PCD，

∵∠DPC+∠CPF+∠BPF＝180°，

∠DPC+∠PDC+∠PCD＝180°，

∴∠PDC＝∠CPF，

∵AD＝BC＝DC＝BE＝AE，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠AED＝60°，

∴∠EDB＝∠PDC＝30°，

∴∠CPF＝30°．