Question

【題目】如圖，拋物線y=x2﹣3x+ 與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E
（1）求直線BC的解析式；
（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標．

Answer 1

【答案】
（1）∵拋物線y=x2﹣3x+ 與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，

∴令y=0，可得x= 或x= ，

∴A（ ，0），B（ ，0）；

令x=0，則y= ，

∴C點坐標為（0， ），

設直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，

，

解得： ，

∴直線BC的解析式為：y=- x+ ；

（2）設點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m， ），

∴E點的坐標為（m， m+ ），

設DE的長度為d，

∵點D是直線BC下方拋物線上一點，

則d= m+ ﹣（m2﹣3m+ ），

整理得，d=﹣m2+ m，

∵a=﹣1＜0，

∴當m= = 時，d最大= = = ，

∴D點的坐標為（ ，- ）．

【解析】（1）利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；（2）設點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m， ），E點的坐標為（m， ），可得兩點間的距離為d= ，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得點D的坐標．此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象與坐標軸的交點，設出D的坐標，利用二次函數(shù)最值得D點坐標是解答此題的關鍵．
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件，利用二次函數(shù)的性質(zhì)和拋物線與坐標軸的交點的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握增減性：當a>0時，對稱軸左邊，y隨x增大而減��；對稱軸右邊，y隨x增大而增大；當a<0時，對稱軸左邊，y隨x增大而增大；對稱軸右邊，y隨x增大而減��；一元二次方程的解是其對應的二次函數(shù)的圖像與x軸的交點坐標．因此一元二次方程中的b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖像與x軸是否有交點．當b2-4ac>0時，圖像與x軸有兩個交點；當b2-4ac=0時，圖像與x軸有一個交點；當b2-4ac<0時，圖像與x軸沒有交點．