Question

【題目】將兩塊全等的三角板如圖①擺放，其中∠A1CB1=∠ACB=90°，∠A1=∠A=30°．

（1）將圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，點P1是A1C與AB的交點，點Q是A1B1與BC的交點，求證：CP1=CQ；

（2）在圖②中，若AP1=2，則CQ等于多少？

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）CQ=

【解析】（1）利用△A1CB1≌△ACB得到CA1=CA，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得∠B1CB=∠A1CA=45°，則∠BCA1=45°，于是根據(jù)“ASA”判斷△CQA1≌△CP1A，所以CP1=CQ；

（2）過點P1作P1P⊥AC于點P，如圖②，先在Rt△AP1P中根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系得到P1P=AP1=×2=1，然后在Rt△CP1P中利用等腰直角三角形的性質(zhì)得CP=P1P=1，CP1=PP1=，由（1）得CQ=CP1=．

（1）∵△A1CB1≌△ACB，∴CA1=CA．

∵圖①中的△A1B1C順時針旋轉(zhuǎn)45°得圖②，∴∠B1CB=∠A1CA=45°，∴∠BCA1=45°．

在△CQA1和△CP1A中，∵，∴△CQA1≌△CP1A，∴CP1=CQ；

（2）過點P1作P1P⊥AC于點P，如圖②．在Rt△AP1P中，∵∠A=30°，∴P1P=AP1=×2=1．在Rt△CP1P中，∵∠P1CP=45°，∴CP=P1P=1，∴CP1=PP1=，∴CQ=CP1=．