Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，點(diǎn)P、Q分別在邊AB、BC上，且AP=BQ．
（1）求證：△BDQ≌△ADP；
（2）已知AD=3，AP=2，求cos∠BPQ的值（結(jié)果保留根號(hào)）．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC，

∵∠A=60°，

∴△ABD是等邊三角形，∠ABC=120°，

∴AD=BD，∠CBD=∠A=60°，

∵AP=BQ，

∴△BDQ≌△ADP（SAS）

（2）解：過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于E，

∵BQ=AP=2，

∵AD∥BC，

∴∠QBE=60°，

∴QE=QBsin60°=2× = ，BE=QBcos60°=2× =1，

∵AB=AD=3，

∴PB=AB﹣AP=3﹣2=1，

∴PE=PB+BE=2，

∴在Rt△PQE中，PQ= = ，

∴cos∠BPQ= = = ．

【解析】（1）由四邊形ABCD是菱形，可證得AD=AB，∠ABD=∠CBD= ∠ABC，AD∥BC，又由∠A=60°，易得△ABD是等邊三角形，然后由SAS即可證得△BDQ≌△ADP；（2）首先過(guò)點(diǎn)Q作QE⊥AB，交AB的延長(zhǎng)線于E，然后由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得PE與QE的長(zhǎng)，又由勾股定理，即可求得PQ的長(zhǎng)，則可求得cos∠BPQ的值．
【考點(diǎn)精析】關(guān)于本題考查的菱形的性質(zhì)和解直角三角形，需要了解菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長(zhǎng)的積的一半；解直角三角形的依據(jù)：①邊的關(guān)系a2+b2=c2；②角的關(guān)系：A+B=90°；③邊角關(guān)系：三角函數(shù)的定義．(注意：盡量避免使用中間數(shù)據(jù)和除法)才能得出正確答案．