Question

【題目】已知：△AOB和△COD均為等腰直角三角形，∠AOB＝∠COD＝90°．連接AD，BC，點(diǎn)H為BC中點(diǎn)，連接OH．

（1）如圖1所示，若AB＝8，CD＝2，求OH的長(zhǎng)；

（2）將△COD繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一定的角度到圖2所示位置時(shí)，線段OH與AD有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）OH＝AD，OH⊥AD，證明見(jiàn)解析

【解析】

（1）利用勾股定理求出BC，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)即可解決問(wèn)題；

（2）如圖2中，結(jié)論：OH＝AD，OH⊥AD．延長(zhǎng)OH到E，使得HE＝OH（倍長(zhǎng)中線構(gòu)造全等三角形），連接BE，由△BEO≌△ODA即可解決問(wèn)題．

（1）證明：如圖1中，∵△AOB和△COD均為等腰直角三角形，AB＝8，CD＝2，

∴OB＝AB＝4，OC＝CD＝，

∴BC＝＝＝，

∵在Rt△BOC中，點(diǎn)H為線段BC的中點(diǎn)，

∴OH＝BC＝；

（2）解：結(jié)論：OH＝AD，OH⊥AD，如圖2中，延長(zhǎng)OH到E，使得HE＝OH，連接BE，

∵點(diǎn)H是BC中點(diǎn)，

∴BH＝CH，

∵∠EHB＝∠OHC，

∴△BEH≌△COH（SAS），

∴OH＝EH，BE=CO，∠EBC＝∠BCO，

∴OH＝OE，

∴∠OBE＝∠EBC+∠OBC＝∠BCO+∠OBC＝180°﹣∠BOC，

∵∠AOB＝∠COD＝90°，

∴∠AOD＝180°﹣∠BOC＝∠OBE，

∵BE=CO，OC＝OD，

∴BE=OD，

∵OB＝OA，BE＝OD，

∴△BEO≌△ODA（SAS），

∴OE＝AD，

∴OH＝OE＝AD

∵△BEO≌△ODA，

∴∠EOB＝∠DAO

∴∠DAO+∠AOH＝∠EOB+∠AOH＝90°，

∴OH⊥AD．