【題目】在正方形ABCD中,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)O,點(diǎn)P在線段BC上(不含點(diǎn)B),∠BPE=∠ACB,PE交BO于點(diǎn)E,過點(diǎn)B作BF⊥PE,垂足為F,交AC于點(diǎn)G.
(1) 當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)(如圖①).求證:△BOG≌△POE;(4分)
(2)通過觀察、測(cè)量、猜想:= ,并結(jié)合圖②證明你的猜想;(5分)
(3)把正方形ABCD改為菱形,其他條件不變(如圖③),若∠ACB=α,求的值.(用含α的式子表示)(5分)
【答案】(1)證明見解析(2),證明見解析(3)
【解析】解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,P與C重合,
∴OB=OP , ∠BOC=∠BOG=90°。
∵PF⊥BG ,∠PFB=90°,∴∠GBO=90°—∠BGO,∠EPO=90°—∠BGO。
∴∠GBO=∠EPO 。∴△BOG≌△POE(AAS)。
(2)。證明如下:
如圖,過P作PM//AC交BG于M,交BO于N,
∴∠PNE=∠BOC=900, ∠BPN=∠OCB。
∵∠OBC=∠OCB =450, ∴ ∠NBP=∠NPB。
∴NB=NP。
∵∠MBN=900—∠BMN, ∠NPE=900—∠BMN,∴∠MBN=∠NPE。
∴△BMN≌△PEN(ASA)。∴BM=PE。
∵∠BPE=∠ACB,∠BPN=∠ACB,∴∠BPF=∠MPF。
∵PF⊥BM,∴∠BFP=∠MFP=900。
又∵PF=PF, ∴△BPF≌△MPF(ASA)。∴BF=MF ,即BF=BM。
∴BF=PE, 即。
(3)如圖,過P作PM//AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,
∴∠BPN=∠ACB=α,∠PNE=∠BOC=900。
由(2)同理可得BF=BM, ∠MBN=∠EPN。
∵∠BNM=∠PNE=900,∴△BMN∽△PEN。
∴。
在Rt△BNP中,, ∴,即。
∴。
(1)由正方形的性質(zhì)可由AAS證得△BOG≌△POE。
(2)過P作PM//AC交BG于M,交BO于N,通過ASA證明△BMN≌△PEN得到BM=PE,通過ASA證明△BPF≌△MPF得到BF=MF,即可得出的結(jié)論。
(3)過P作PM//AC交BG于點(diǎn)M,交BO于點(diǎn)N,同(2)證得BF=BM, ∠MBN=∠EPN,從而可證得△BMN∽△PEN,由和Rt△BNP中即可求得。
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【題目】已知AM∥CN,點(diǎn)B為平面內(nèi)一點(diǎn),AB⊥BC于B.
(1)如圖1,直接寫出∠A和∠C之間的數(shù)量關(guān)系;
(2)如圖2,過點(diǎn)B作BD⊥AM于點(diǎn)D,求證:∠ABD=∠C;
(3)如圖3,在(2)問的條件下,點(diǎn)E、F在DM上,連接BE、BF、CF,BF平分∠DBC,BE平分∠ABD,若∠FCB+∠NCF=180°,∠BFC=3∠DBE,求∠EBC的度數(shù).
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【題目】地球的平均半徑約為6 371 000米,該數(shù)字用科學(xué)記數(shù)法可表示為( )
A.0.6371×107
B.6.371×106
C.6.371×107
D.6.371×103
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【題目】已知:如圖,ABCD中,E、F分別是AD,BC的中點(diǎn).求證:
(1)△AFB≌△CED;
(2)四邊形AECF是平行四邊形.
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