Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作正方形；延長(zhǎng)交軸于點(diǎn)，作正方形……按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第1個(gè)正方形的面積為_____；第4個(gè)正方形的面積為____.

Answer 1

【答案】5；

【解析】

由點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．即可求得OA與OD的長(zhǎng)，然后由勾股定理即可求得AD的長(zhǎng)，繼而求得第1個(gè)正方形ABCD的面積；先證得△DOA∽△ABA1，然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可求得A1B的長(zhǎng)，即可求得A1C的長(zhǎng)，即可得第2個(gè)正方形A1B1C1C的面積；以此類推，可得第3個(gè)、第4個(gè)正方形的面積．

解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2）．

∴OA=1，OD=2，

在Rt△AOD中，AD=，

∴正方形ABCD的面積為：（）2=5；

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=AB，∠DAB=∠ABC=∠ABA1=90°=∠DOA，

∴∠ADO+∠DAO=90°，∠DAO+∠BAA1=90°，

∴∠ADO=∠BAA1，

∵∠DOA=∠ABA1，

∴△DOA∽△ABA1，

∴,即，

解得：A1B=，

∴A1C=A1B+BC= ，

∴正方形A1B1C1C的面積為：（）2=；

∵第1個(gè)正方形ABCD的面積為：5；

第2個(gè)正方形A1B1C1C的面積為：=

同理可得：第3個(gè)正方形A2B2C2C1的面積為：=（）2×5；

∴第4個(gè)正方形A3B3C3C2的面積為：（）3×5．

故答案為：5，（）3×5．