Question

（2011•青浦區(qū)一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象經(jīng)過(guò)A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三點(diǎn)，設(shè)該二次函數(shù)的頂點(diǎn)為G．
（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式及其圖象的頂點(diǎn)G的坐標(biāo)；
（2）求tan∠ACG的值；
（3）如該二次函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)P，x軸上有一點(diǎn)E，問(wèn)是否存在以A、G、E、P為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）由于A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）三點(diǎn)在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，直接用待定系數(shù)法就可以求出拋物線的解析式，然后化為頂點(diǎn)式就可以求出頂點(diǎn)坐標(biāo)．
（2）過(guò)點(diǎn)G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，GF⊥y軸于點(diǎn)F，由勾股定理求出AC、GC、AG從而求得△AGC是直角三角形，從而求得tan∠ACG的值．
（3）當(dāng)AG為邊時(shí)，作GH⊥x軸于H，PN⊥x軸于點(diǎn)N，由平行四邊形的性質(zhì)可以得出PE=AG，可以證明PN=GH，可以求出P的坐標(biāo)，當(dāng)AG為對(duì)角線時(shí)，不存在．

解答：解：（1）∵A（3，0）、B（1，0）、C（0.3）在二次函數(shù)y=ax²+bx+c的圖象上，
∴

9a+3b+c=0 a+b+c=0 c=3

解得：

a=1 b=-4 c=3

，
∴二次函數(shù)的解析式為：y=x²-4x+3，
∴y=（x-2）²-1，
∴頂點(diǎn)G（2，-1）．

（2）G作GH⊥x軸于點(diǎn)H，GF⊥y軸于點(diǎn)F，
∵G（2，-1）、A（3，0）、B（1，0）、C（0.3），
∴CF=4，GF=2，GH=1，HA=1，在Rt△GFC、Rt△AOC、Rt△GHA中由勾股定理，得
AC²=18，GC²=20，AG²=2
∴△ACG是直角三角形，且∠CAG=90°，
∴tan∠ACG=

AG

AC

=

1

3

（3）當(dāng)AG為邊時(shí)，作GH⊥x軸于H，PN⊥x軸于點(diǎn)N
∴∠PNE=∠GHA=90°
∵四邊形PEGA是平行四邊形，
∴PE=AG，∠PEA=∠GAE，
∴△PNE≌△GHA，
∴PN=GH=1，設(shè)P（m，1）
∴m²-4m+3=1，
∴m=2±

2

，
∴P（2±

2

，1），
當(dāng)AG為對(duì)角線時(shí)，不可能．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（2±

2

，1），

點(diǎn)評(píng)：本題是一道二次函數(shù)的綜合試題，考查了待定系數(shù)法求拋物線的解析式，勾股定理及勾股定理的逆定理的運(yùn)用，全等三角形的判定與性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義．