Question

如圖，正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3＋.

(1)如圖1，正方形EFPN的頂點(diǎn)E，F在邊AB上，頂點(diǎn)N在邊AC上，在正三角形ABC及其內(nèi)部，以A為位似中心，作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，且使正方形E′F′P′N′的面積最大(不要求寫(xiě)作法)；

(2)求(1)中作出的正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)；

(3)如圖2，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPN，使得DE，EF在邊AB上，點(diǎn)P，N分別在邊CB，CA上，求這兩個(gè)正方形面積和的最大值和最小值，并說(shuō)明理由．

Answer 1

 解：(1)如圖①，正方形E′F′P′N′即為的所求．(4分)

圖(1)

　　　　圖(2)

(2)設(shè)正方形E′F′P′N′的邊長(zhǎng)為x.

∵△ABC為正三角形，∴AE′＝BF′＝x.

∴x＋x＝3＋.∴x＝，即x＝3－3.(8分)

(沒(méi)有分母有理化也對(duì)，x≈2.20也正確)

(3)如圖(2)，連接NE，EP，PN，則∠NEP＝90°.

設(shè)正方形DEMN、正方形EFPH的邊長(zhǎng)分別為m、n(m≥n)，它們的面積和為S，則NE＝m，PE＝n.

∴PN²＝NE²＋PE²＝2m²＋2n²＝2(m²＋n²)，

∴S＝m²＋n²＝PN².

延長(zhǎng)PH交ND于點(diǎn)G，則PG⊥ND.

在Rt△PGN中，PN²＝PG²＋GN²＝(m＋n)²＋(m－n)².

∵m＋m＋n＋n＝＋3，

即m＋n＝3，∴S＝＋

①當(dāng)(m－n)²＝0，即m＝n時(shí)，S最小，∴S_最小＝.

②當(dāng)(m－n)²最大，即當(dāng)m最大且n最小時(shí)，S最大

∵m＋n＝3，

由(2)知，m_最大＝3－3，

∴n_最小＝3－m_最大＝3－(3－3)＝6－3.(16分)

∴S_最大＝＋＝99－54.(S_最大≈5.47也正確)(18分)