Question

【題目】如圖1，點(diǎn)O為直線AB上一點(diǎn)，過O點(diǎn)作射線OC，使∠BOC=120°，將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．

（1）如圖2，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊OM在∠BOC的內(nèi)部，且OM恰好平分∠BOC．此時(shí)∠AOM= 度；

（2）如圖3，繼續(xù)將圖2中的三角板繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；

（3）將圖1中的三角板繞點(diǎn)O以每秒10°的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，若直線ON恰好平分∠AOC，則此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是 ．

Answer 1

【答案】（1）120；（2）∠AOM﹣∠NOC=30°，理由參見解析；（3）6或24秒．

【解析】

試題分析：（1）由角平分線意義可得∠BOM=120°÷2=60°，根據(jù)平角的意義可算出∠AOM的度數(shù)；（2）如圖3，∠AOM轉(zhuǎn)化成∠MON-∠AON，∠NOC轉(zhuǎn)化成∠AOC-∠AON，則∠AOM﹣∠NOC=（∠MON-∠AON）-（∠AOC-∠AON），即等于∠MON-∠AON-∠AOC+∠AON=∠MON-∠AOC=90-60=30度，從而推出∠AOM與∠NOC之間的數(shù)量關(guān)系；（3）若直線ON恰好平分∠AOC，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°時(shí)，ON平分∠AOC，或當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°時(shí)，ON平分∠AOC，分別除以10，即為所求的旋轉(zhuǎn)時(shí)間．

試題解析：（1）由題意可知：OM恰好平分∠BOC，∴∠BOM=120°÷2=60°，∴∠AOM=180°﹣60°=120°； （2）如圖3，∵∠BOC=120°，∴∠A0C=60°，∠AOM轉(zhuǎn)化成∠MON-∠AON，∠NOC轉(zhuǎn)化成∠AOC-∠AON，∵∠AON=90°﹣∠AOM=60°﹣∠NOC，∴∠AOM﹣∠NOC=30°；（3）設(shè)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是x秒，∵∠BOC=120°，∴∠AOC=60°，當(dāng)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°或逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)240°時(shí) ON平分∠AOC， 于是可列10x=60或10x=240，∴x=6或x=24，即此時(shí)三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)的時(shí)間是6秒或24秒．故答案為：6秒或24秒．