Question

如圖1，拋物線y=x²-4x+c交x軸于點A和B（-1，0）交y軸于點C，且拋物線的對稱軸交x軸于點D
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）若點E在拋物線上，且位于第四象限，當四邊形ADCE面積最大時，求點E的坐標；
（3）如圖2，在拋物線上是否存在這樣的點P，使△PAB中的內(nèi)角中有一邊與x軸所夾銳角的正切值為？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）依題意把點B的坐標代入函數(shù)解析式里得出c的值．
（2）連接OE，設(shè)四邊形ADEF面積為S．令x=0以及y=0求出A、C的坐標．當m=時，S有最大值．求出點E的坐標．
（3）本題要依靠輔助線的幫助．假設(shè)存在P點．利用三角函數(shù)求出各線段的等量關(guān)系．
解答：解：（1）∵B（-1，0）在y=x²-4x+c上，
∴（-1）²-4（-1）+c
∴c=-5
∴y=x²-4x-5  2分

（2）連接OE，由題意設(shè)四邊形ADEF面積為S，
E（m，m²-4m-5）（0＜m＜5）3分
∵y=x²-4x-5
∴對稱軸為直線x=2
∴D（2，0），DO=2
令x=0，得y=-5，
令y=0，得x₁=-1，x₂=5
∴A（5，0），C（0，-5）
∴AO=CO=5    4分
∴S=S_{四邊形AOCE}-S_△COD=S_△COE+S_△AOF-S_△COD=CO|x_E|-AO|y_E|-CO．DO
=-m²+m+
即S=-（m-）²+（0＜m＜5）5分
∴當m=時，Smax=
此時m²-4m-5=-
E（）   6分

（3）（I）存在P₁（），P₂（），P₃（），P₄（）
（II）理由：假設(shè)存在P（m，m²-4m-5）
由題意得，tan∠PBA=或tan∠PAB=
①當tan∠PBA=，且P在第一象限時（如圖2）
過P點作PH⊥x軸于H
∵tan∠PBA=
∴BH=2PH，
又P（m，m²-4m-5）（m＞0，m²-4m-5＞0）
B（-1，0）
∴BH=m+1，PH=m²-4m-5
∴m+1=2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍）  m₂=
此時m²-4m-5=
∴P₁（）7分
②當tan∠PBA=，且P在第一象限時（如圖2）
與①同理BH=2PH，BH=m+1，PH=-（m²-4m-5）
∴m+1=-2（m²-4m-5）
∴m₁=-1（舍） m₂=
此時m²-4m-5=
∴p₂（）8分
③當tan∠PBA=，且P在第二象限時（如圖3）
過點P作PK⊥x軸于K
∵tan∠PBA==，
AK=2PK
∴AK=5-m，PK=m²-4m-5
∴5-m=2（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍）  m₂=
此時m²-4m-5=
∴P₃（）9分
④當tan∠PBA=，且P在第三象限時（如圖3）
與③同理：AK=2PK，AK=5-m，PK=-（m²-4m-5）
∴5-m=-（m²-4m-5）
∴m₁=5（舍） m₂=
此時m²-4m-5=
∴p₄（）
故存在P₁（），p₂（），P₃（），p₄（）．10分
點評：本題難度較大．考查的是三角函數(shù)的有關(guān)知識點，二次函數(shù)的靈活運用．