【題目】將拋物線c1: 沿x軸翻折,得到拋物線c2,如圖1所示.
(1)請直接寫出拋物線c2的表達(dá)式;
(2)現(xiàn)將拋物線c1向左平移m個單位長度,平移后得到新拋物線的頂點為M,與x軸的交點從左到右依次為A、B;將拋物線c2向右也平移m個單位長度,平移后得到新拋物線的頂點為N,與軸的交點從左到右依次為D、E.
①當(dāng)B、D是線段AE的三等分點時,求m的值;
②在平移過程中,是否存在以點A、N、E、M為頂點的四邊形是矩形的情形?若存在,請求出此時m的值;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)①2,1/2,②是矩形,m=1
【解析】試題分析:因為二次函數(shù)的圖像關(guān)于x軸對稱時,函數(shù)中的a,c,互為相反數(shù),b值不變,函數(shù)向左平移時,縱坐標(biāo)不變,橫坐標(biāo)均減少平移個單位,可假定成立,由直角三角形性質(zhì)得到驗證。解:(1)拋物線c2的表達(dá)式是; 2分;
(2)①點A的坐標(biāo)是(,0), 3分;
點E的坐標(biāo)是(,0). 4分;
②假設(shè)在平移過程中,存在以點A,M,E為頂點的三角形是直角三角形.
由題意得只能是.
過點M作MG⊥x軸于點G.
由平移得:
點M的坐標(biāo)是(, ), 5分;
∴點G的坐標(biāo)是(,0),
∴, ,
,
在Rt△AGM中,
∵ tan,
∴, 6分;
∵,
∴,
∴tan,
∴, 7分;
∴. 8分.
所以在平移過程中,當(dāng)時,存在以點A,M,E為頂點的三角形是直角三角形.
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【題目】如果點將的弦和分成的四條線段,,,的長度恰好是四個互不相同的正整數(shù),則稱點為的”整分點”.現(xiàn)已知是半徑為的上一點,則在半徑上有________個不同的整分點.
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【題目】如圖,已知點A(﹣1,0),B(3,0),C(0,1)在拋物線y=ax2+bx+c上.
(1)求拋物線解析式;
(2)在直線BC上方的拋物線上求一點P,使△PBC面積為1;
(3)在x軸下方且在拋物線對稱軸上,是否存在一點Q,使∠BQC=∠BAC?若存在,求出Q點坐標(biāo);若不存在,說明理由.
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【題目】直線y=﹣x+3交x軸于點A,交y軸于點B,頂點為D的拋物線y=﹣x2+2mx﹣3m經(jīng)過點A,交x軸于另一點C,連接BD,AD,CD,如圖所示.
(1)直接寫出拋物線的解析式和點A,C,D的坐標(biāo);
(2)動點P在BD上以每秒2個單位長的速度由點B向點D運動,同時動點Q在CA上以每秒3個單位長的速度由點C向點A運動,當(dāng)其中一個點到達(dá)終點停止運動時,另一個點也隨之停止運動,設(shè)運動時間為t秒.PQ交線段AD于點E.
①當(dāng)∠DPE=∠CAD時,求t的值;
②過點E作EM⊥BD,垂足為點M,過點P作PN⊥BD交線段AB或AD于點N,當(dāng)PN=EM時,求t的值.
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【題目】如圖,平面直角坐標(biāo)系中,直線l:y=x+m交x軸于點A,二次函數(shù)y=ax2﹣3ax+c(a≠0,且a、c是常數(shù))的圖象與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè)),與y軸交于點C,與直線l交于點D,已知CD與x軸平行,且S△ACD:S△ABD=3:5.
(1)求點A的坐標(biāo);
(2)求此二次函數(shù)的解析式;
(3)點P為直線l上一動點,將線段AC繞點P順時針旋轉(zhuǎn)α°(0°<α°<360°)得到線段A'C'(點A,A'是對應(yīng)點,點C,C'是對應(yīng)點).請問:是否存在這樣的點P,使得旋轉(zhuǎn)后點A'和點C'分別落在直線l和拋物線y=ax2﹣3ax+c的圖象上?若存在,請直接寫出點A'的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】已知關(guān)于x的一元二次方程有實數(shù)根.
(1)求m的值;
(2)先作的圖象關(guān)于x軸的對稱圖形,然后將所作圖形向左平移3個單位長度,再向上平移2個單位長度,寫出變化后圖象的解析式;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)直線y=2x+n(n≥m)與變化后的圖象有公共點時,求的最大值和最小值.
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【題目】如圖,在中,,.
(1)如圖1,若直線與相交于,過點作于,連接并延長至,使得,過點作于,證明:.
(2)如圖2,若直線與的延長線相交于,過點作于,連接并延長至,使得,過點作交的延長線于,探究:、、之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.
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【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,點C為⊙O上一點,經(jīng)過C作CD⊥AB于點D,CF是⊙O的切線,過點A作AE⊥CF于E,連接AC.
(1)求證:AE=AD.
(2)若AE=3,CD=4,求AB的長.
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【題目】某校為美化校園,計劃對面積為的區(qū)域進(jìn)行綠化,安排甲、乙兩個工程隊完成.已知甲隊每天能完成綠化的面積是乙隊每天能完成綠化的面積的2倍,并且在獨立完成面積為區(qū)域的綠化時,甲隊比乙隊少用4天。
(1)求甲、乙兩工程隊每天能完成綠化的面積分別是多少?
(2)若學(xué)校每天需付給甲隊的綠化費用為0.35萬元,乙隊為0.25萬元,要使這次的綠化總費用不超過8萬元,至少應(yīng)安排甲隊工作多少天?
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