Question

（2012•烏魯木齊）等腰△ABC內(nèi)接于半徑為5的⊙O，點O到底邊BC的距離為3，則AB的長為

2

5

或4

5

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：當(dāng)三角形ABC為銳角三角形時，如圖1所示，過A作AD垂直于BC，根據(jù)題意得到AD過圓心O，連接OB，在直角三角形OBD中，由OB與OD長，利用勾股定理求出BD的長，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出AB的長；當(dāng)三角形ABC為鈍角三角形時，同理求出AB的長，綜上即可得到所有滿足題意AB的長．

解答：解：分兩種情況考慮：當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖1所示，
過A作AD⊥BC，由題意得到AD過圓心O，連接OB，
∵OD=3，OB=5，
∴在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD=4，
在Rt△ABD中，AD=AO+OD=8，BD=4，
根據(jù)勾股定理得：AB=

82+42

=4

5

；
當(dāng)△ABC為銳角三角形時，如圖2所示，
過A作AD⊥BC，由題意得到AD延長線過圓心O，連接OB，
∵OD=3，OB=5，
∴在Rt△OBD中，根據(jù)勾股定理得：BD=4，
在Rt△ABD中，AD=AO-OD=2，BD=4，
根據(jù)勾股定理得：AB=

22+42

=2

5

，
綜上，AB=2

5

或4

5

．
故答案為：2

5

或4

5

點評：此題考查了垂徑定理，勾股定理，利用了分類討論的思想，熟練掌握垂徑定理是解本題的關(guān)鍵．