【題目】如圖1,直線PQ的同側(cè)有兩點M,N,點T在直線PQ上,若∠MTP=∠NTQ,則稱點MN為關(guān)于直線PQ的衍射點.如圖2,BD是矩形ABCD的對角線,E是邊BC延長線上的一點,且CE=BC,連接AECD于點F,交BD于點P,連接BF,CP

(1)求證:點AB是關(guān)于直線CD的衍射點.

(2)若點C,F是關(guān)于直線BD的衍射點,CP=2PF=2,求AB的長.

【答案】(1)見解析(2)6

【解析】

1)由矩形的性質(zhì)得∠BCD=90°,因為BC=CE,可得FB=FE,故可得∠BFC=EFC,,再由∠AFD=EFC可得∠AFD=BFC進(jìn)而得到結(jié)論;

2)首先證明ADF≌△ECF得出F點是DC的中點,再證明DPF∽△BPA求得,進(jìn)而得出AP=CP,再證明ABP≌△CBP得出AB=BC, PQAB,垂足為點Q,運用勾股定理求出AQ的長以及BQ的長,從而可得AB的長.

∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠BCD=90°

BC=CE,

FC垂直平分BE,

BF=EF,

∴∠BFC=EFC,

∵∠AFD=EFC,

∴∠AFD=BFC,

∴點A,B是關(guān)于直線CD的衍射點;

2)∵BC=CE,

又∵BC=AD

CE=AD

ADFECF中,

∴△ADF≌△ECF,

DF=CF=,

DFAB,

∴△DPF∽△BPA

,

,

,

AP=CP,

又∵點C,F是關(guān)于直線BD的衍射點,

∴∠BPC=DPF,

∵∠DPF=APB,

∴∠BPC=APB,

AP=PC,BP=BP,

∴△ABP≌△CBP,

∴∠ABP=CBP,AB=BC,

又∵四邊形ABCD是矩形,

∴∠ABC=90°,

∴∠ABP=,

PQAB,垂足為點Q

RtBPQ中,BQ=PQ,

設(shè)BQ=x,∴PQ=x,

,

,,

AQ=x

RtAPQ中,,

解得,

BQ=4,AQ=2,

AB=BQ+AB=4+2=6.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為弘揚中華傳統(tǒng)文化,黔南州近期舉辦了中小學(xué)生國學(xué)經(jīng)典大賽.比賽項目為:A.唐詩;B.宋詞;C.論語;D.三字經(jīng).比賽形式分單人組雙人組”.

(1)小麗參加單人組,她從中隨機抽取一個比賽項目,恰好抽中三字經(jīng)的概率是多少?

(2)小紅和小明組成一個小組參加雙人組比賽,比賽規(guī)則是:同一小組的兩名隊員的比賽項目不能相同,且每人只能隨機抽取一次,則恰好小紅抽中唐詩且小明抽中宋詞的概率是多少?請用畫樹狀圖或列表的方法進(jìn)行說明.

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【題目】如圖,平臺AB上有一棵直立的大樹CD,平臺的邊緣B處有一棵直立的小樹BE,平臺邊緣B外有一個向下的斜坡BG.小明想利用數(shù)學(xué)課上學(xué)習(xí)的知識測量大樹CD的高度.一天,他發(fā)現(xiàn)大樹的影子一部分落在平臺CB上,一部分落在斜坡上,而且大樹的頂端D與小樹頂端E的影子恰好重合,且都落在斜坡上的F處,經(jīng)測量,CB5米,BF2米,小樹BE1.8米,斜坡BG與平臺AB所成的∠ABG150°.請你幫小明求出大樹CD的高度.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】為弘揚傳統(tǒng)文化,某校開展了傳承經(jīng)典文化,閱讀經(jīng)典名著活動.為了解七、八年級學(xué)生(七、八年級各有600名學(xué)生)的閱讀效果,該校舉行了經(jīng)典文化知識競賽.現(xiàn)從兩個年級各隨機抽取20名學(xué)生的競賽成績(百分制)進(jìn)行分析,過程如下:

收集數(shù)據(jù):

七年級:79,8573,807576,87,70,75,94,75,79,81,7175,8086,59,83,77

八年級:92,7487,82,7281,94,83,77,83,8081,71,8172,7782,8070,41

整理數(shù)據(jù):

七年級

0

1

0

a

7

1

八年級

1

0

0

7

b

2

分析數(shù)據(jù):

平均數(shù)

眾數(shù)

中位數(shù)

七年級

78

75

八年級

78

80.5

應(yīng)用數(shù)據(jù):

(1)由上表填空:a= ,b= ,c= ,d=

(2)估計該校七、八兩個年級學(xué)生在本次競賽中成績在90分以上的共有多少人?

(3)你認(rèn)為哪個年級的學(xué)生對經(jīng)典文化知識掌握的總體水平較好,請說明理由.

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【題目】如圖,反比例函數(shù)y=(x>0)與直線AB交于點A(2,3),直線ABx軸交于點B(40),過點Bx軸的垂線BC交反比例函數(shù)的圖象于點C,在平面內(nèi)有點D,使得以A,B,C,D四點為頂點的四邊形為平行四邊形,則平行四邊形ABCD的面積為____________

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【題目】如圖,在矩形ABCD,AB=4,BC=2,E是邊BC的中點,PAB上一點,連接PE,過點EPE的垂線交射線AD于點Q,連接PQ,設(shè)AP的長為t.

(1)用含t的代數(shù)式表示AQ的長;

(2)PEQ的面積等于10,t的值.

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【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,已知拋物線經(jīng)過原點,頂點為,且與直線相交于兩點.

(1)求拋物線的解析式;

(2)求、兩點的坐標(biāo);

(3)若點軸上的一個動點,過點軸與拋物線交于點,則是否存在以為頂點的三角形與相似?若存在,請直接寫出點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

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【題目】已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過三點(1,0)(-6,0)(0,-3).

(1)求該二次函數(shù)的解析式.

(2)若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)交于點A(),落在兩個相鄰的正整數(shù)之間,請求出這兩個相鄰的正整數(shù).

(3)若反比例函數(shù)的圖象與二次函數(shù)的圖象在第一象限內(nèi)的交點為B,點B的橫坐標(biāo)為m,且滿足3<m<4,求實數(shù)k的取值范圍.

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【題目】如圖,吊車在水平地面上吊起貨物時,吊繩BC與地面保持垂直,吊臂AB與水平線的夾角為64°,吊臂底部A距地面1.5m.

(1)當(dāng)?shù)醣鄣撞?/span>A與貨物的水平距離AC5m時,求吊臂AB的長;

(2)如果該吊車吊臂的最大長度AD20m,那么從地面上吊起貨物的最大高度是多少?(吊鉤的長度與貨物的高度忽略不計,計算結(jié)果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù):sin64°≈0.90,cos64°≈0.44,tan64°≈2.05)

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