Question

【題目】如圖，△ABC和△ADC都是等邊三角形，點(diǎn)E，F同時(shí)分別從點(diǎn)B，A出發(fā)，以相同的速度各自沿BA，AD的方向運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A，D停止，連結(jié)EC，FC.

(1)在點(diǎn)E，F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，∠ECF的大小是否隨之變化？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(2)在點(diǎn)E，F運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，以A，E，C，F為頂點(diǎn)的四邊形的面積變化了嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．

(3)連結(jié)EF，在圖中找出所有和∠ACE相等的角，并說(shuō)明理由．

(4)若點(diǎn)E，F在射線BA，射線AD上繼續(xù)運(yùn)動(dòng)下去，(1)中的結(jié)論還成立嗎？直接寫(xiě)出結(jié)論，不必說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】(1)沒(méi)有變化(2)沒(méi)有變化(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE(4)(1)中的結(jié)論仍成立

【解析】試題分析：（1）由于BE=AF，BC=AC，且∠B=∠CAF=60°，根據(jù)SAS可證得△BCE≌△ACF，即可得∠BCE=∠ACF，因此∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠BCE+∠ACE=60°，因此∠ECF的度數(shù)是定值，不會(huì)改變．（2）由（1）的全等三角形知：△ACF、△BCE的面積相等，因此四邊形AECF的面積可轉(zhuǎn)化為△ABC的面積，因此當(dāng)E、F分別在線段AB、AD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形AECF的面積不變．（3）同（1）可證得△ACE≌△DCF，得∠ACE=∠FCD；連接EF，由（1）（3）的全等三角形，易知CE=CF，且∠ECF=60°，因此△ECF是等邊三角形，那么∠EFC=60°，然后根據(jù)平角的定義以及三角形內(nèi)角和定理，證得∠AFE=∠FCD，進(jìn)而可求得∠ACE相等的角是：∠ACE=∠AFE=∠FCD．（4）由于當(dāng)E、F分別在BA、AD延長(zhǎng)線上時(shí)，（1）的全等三角形依然成立，因此（1）的結(jié)論是成立的．

試題解析：

(1)沒(méi)有變化．理由如下：

∵點(diǎn)E，F的速度相同，且同時(shí)運(yùn)動(dòng)，

∴BE＝AF.

∵△ABC和△ADC都是等邊三角形，

∴BC＝AC，∠B＝∠ACB＝∠CAF＝60°.

在△BCE和△ACF中，∵

∴△BCE≌△ACF(SAS)．∴∠BCE＝∠ACF.

∴∠ECF＝∠ACF＋∠ACE＝∠BCE＋∠ACE＝∠ACB＝60°.

(2)沒(méi)有變化．理由如下：

由(1)知，△BCE與△ACF的面積相等，

∴S四邊形AECF＝S△ACF＋S△ACE＝S△BCE＋S△ACE＝S△ABC.

∴四邊形AECF的面積沒(méi)有變化．

(3)∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.理由如下：

∵△ABC和△ADC都是等邊三角形，

∴∠EAC＝∠FDC＝60°，AB＝AC＝DC＝AD.

∵BE＝AF，∴AB－BE＝AD－AF，即AE＝DF.

∴△ACE≌△DCF(SAS)．

∴∠ACE＝∠DCF，EC＝FC.

又∵∠ECF＝60°，

∴△ECF是等邊三角形，∴∠EFC＝60°.

∴∠AFE＋∠DFC＝120°.

∵∠D＝60°，∴∠DCF＋∠DFC＝120°.

∴∠AFE＝∠DCF＝∠ACE.

(4)(1)中的結(jié)論仍成立．