Question

【題目】如圖，拋物線 與x軸交于兩點(diǎn)A（﹣4，0）和B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，2），動(dòng)點(diǎn)D沿△ABC的邊AB以每秒2個(gè)單位長度的速度由起點(diǎn)A向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，交△ABC的另一邊于點(diǎn)E，將△ADE沿DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，設(shè)點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．

（1）求拋物線的解析式和對(duì)稱軸；
（2）是否存在某一時(shí)刻t，使得△EFC為直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由；
（3）設(shè)四邊形DECO的面積為s，求s關(guān)于t的函數(shù)表達(dá)式．

Answer 1

【答案】
（1）解：把A（﹣4，0），B（1，0），點(diǎn)C（0，2）代入 得： ，解得： ，
∴拋物線的解析式為： ，
對(duì)稱軸為：直線x=﹣ ；
（2）解：存在，∵AD=2t，
∴DF=AD=2t，
∴OF=4﹣4t，
∴D（2t﹣4，0），
∵直線AC的解析式為： ，∴E（2t﹣4，t），
∵△EFC為直角三角形，分三種情況討論：
① 當(dāng)∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，
∴ ，即 ，解得：t= ；
②當(dāng)∠FEC=90°，
∴∠AEF=90°，
∴△AEF是等腰直角三角形，
∴DE= AF，即t=2t，
∴t=0，（舍去），
③當(dāng)∠ACF=90°，則AC2+CF2=AF2 ， 即（42+22）+[22+（4t﹣4）2]=（4t）2 ， 解得：t= ，
∴存在某一時(shí)刻t，使得△EFC為直角三角形，此時(shí)，t= 或 ；
（3）解：∵B（1，0），C（0，2），
∴直線BC的解析式為：y=﹣2x+2，
當(dāng)D在y軸的左側(cè)時(shí)，S= （DE+OC）OD= （t+2）（4﹣2t）=﹣t2+4 （0＜t＜2）；
當(dāng)D在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖2，

∵OD=4t﹣4，DE=﹣8t+10，S= （DE+OC）OD= （﹣8t+10+2）（4t﹣4），即 （2＜t＜ ）．
綜上所述：
【解析】（1）（1）利用待定系數(shù)法，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，建立方程組求解即可。
（2）根據(jù)題意分別求出AD、DF、OF的長，表示出點(diǎn)D的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)解析式，表示出點(diǎn)E的坐標(biāo)，再分三種情況討論△EFC為直角三角形：① 當(dāng)∠EFC=90°，則△DEF∽△OFC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于t的方程求解即可；②∠FEC=90°，∠AEF=90°，△AEF是等腰直角三角形求出t的值即可；③當(dāng)∠ACF=90°，則AC2+CF2=AF2 ， 建立關(guān)于t的方程求解即可，從而可得出答案。
（3）求得直線BC的解析式為：y=-2x+2，當(dāng)D在y軸的左側(cè)時(shí)，當(dāng)D在y軸的右側(cè)時(shí)，如圖2，根據(jù)梯形的面積公式即可得到結(jié)論。