Question

【題目】如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，D，E是斜邊BC上兩點，∠DAE=45°，，則的面積為__________.

Answer 1

【答案】

【解析】

把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，然后求出∠EAF=45°，從而得到∠EAF=∠DAE，再利用“邊角邊”證明△AEF和△AED全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等可得EF=DE，再求出△CEF是直角三角形，利用勾股定理列式求出EF，然后求出BC，再根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出點A到BC的距離，然后利用三角形的面積公式列式計算即可得解．

解：如圖，把△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACF，連接EF，

∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴∠ACB=∠B=45°，
由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，CF=BD，AF=AD，∠CAF=∠BAD，∠ACF=∠B=45°，
∵∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠CAF+∠CAE=∠BAD+∠CAE=90°-∠DAE=45°，
∴∠EAF=∠DAE，
在△AEF和△AED中，
，
∴△AEF≌△AED（SAS），
∴EF=DE，
∵∠ECF=∠ACF+∠ACB=45°+45°=90°，
∴△CEF是直角三角形，
∴EF= =5，
∴BC=CE+DE+BD=4+5+3=12，

∵∠BAC=90°，AC=AB，
∴點A到BC的距離為×12=6，

∴△ABC的面積=×12×6=36．

故答案為：36.