【題目】如圖,A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,4),(0,2),點(diǎn)P為x軸正半軸上一動點(diǎn),過點(diǎn)A作AP的垂線,過點(diǎn)B作BP的垂線,兩垂線交于點(diǎn)Q,連接PQ,M為線段PQ的中點(diǎn).
(1)求證:A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上;
(2)當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí),求點(diǎn)Q的坐標(biāo);
(3)當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)(1,0)運(yùn)動到點(diǎn)(2,0)時(shí),請直接寫出線段QM掃過圖形的面積.
【答案】(1)見解析;(2)(2,6);(3).
【解析】試題分析:(1)連接AM、BM,由△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜邊PQ的中點(diǎn),可得AM=BM=PM=QM,從而問題得證;
(2) 作MG⊥y軸于G,MC⊥x軸于C,由已知求得MC=OG=3,確定出在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,點(diǎn)M到x軸的距離始終為3,從而確定點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為6, 當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)則PQ⊥x軸,作QH⊥y軸于H,由△BOP∽△QHB,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得;
(3)由相似可得:當(dāng)點(diǎn)P在P1(1,0)時(shí),Q1(8,6)則M1( ,3),當(dāng)點(diǎn)P在P2(2,0)時(shí),Q2(4,6),則M2(3,3),根據(jù)線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1,根據(jù)梯形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可得.
試題解析:(1)連接AM、BM,
∵△APQ和△BPQ都是直角三角形,M是斜邊PQ的中點(diǎn),
∴AM=BM=PM=QM= PQ,
∴A、B、P、Q四點(diǎn)在以M為圓心的同一個(gè)圓上;
(2) 作MG⊥y軸于G,MC⊥x軸于C,∵AM=BM,
∴G是AB的中點(diǎn),由A(0,4),B(0,2)可得MC=OG=3,
∴在點(diǎn)P運(yùn)動的過程中,點(diǎn)M到x軸的距離始終為3,
則點(diǎn)Q到x軸的距離始終為6,即點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)始終為6,
當(dāng)⊙M與x軸相切時(shí)則PQ⊥x軸,作QH⊥y軸于H,
HB=6-2=4,設(shè)OP=HQ=x,
由△BOP∽△QHB,得x 2=2×4=8,x=2,
∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2,6);
(3)由相似可得:當(dāng)點(diǎn)P在P1(1,0)時(shí),Q1(8,6),則M1( ,3),
當(dāng)點(diǎn)P在P2(2,0)時(shí),Q2(4,6),則M2(3,3),
∴M1M2= -3= ,Q1Q2=8-4=4,
線段QM掃過的圖形為梯形M1M2Q2Q1,
其面積為: ×(+4 )×3=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某飲品店老板新推出A、B兩種囗味的飲料,其中每杯A種口味飲料的利潤率為60%,每杯B種口味飲料的利潤率為20%.當(dāng)售出的A種口味的杯數(shù)比B種口味的杯數(shù)少50%時(shí),這個(gè)老板得到的總利潤率為36%;當(dāng)售出的A種口味的杯數(shù)比B種口味的杯數(shù)多25%時(shí),這個(gè)老板得到的總利潤率為_____.(利潤率=利潤÷成本)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)A(1,6),B(3,n)兩點(diǎn).
(1)求一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)在y軸上找一點(diǎn)P,使PA+PB的值最小,求滿足條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PAB的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC,以AC為直徑的⊙O分別交AB、BC于點(diǎn)M、N,直線CP是⊙O的切線,且點(diǎn)P在AB的延長線上.
(1)若∠P=40°,求∠BCP的度數(shù);
(2)若BC=2,sin∠BCP=,求點(diǎn)B到AC的距離.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,D,E是斜邊BC上兩點(diǎn),∠DAE=45°,,則的面積為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“綠水青山,就是金山銀山”.某旅游景區(qū)為了保護(hù)環(huán)境,需購買兩種型號的垃圾處理設(shè)備共10臺,已知每臺型設(shè)備日處理能力為12噸;每臺型設(shè)備日處理能力為15噸,購回的設(shè)備日處理能力不低于140噸.
(1)請你為該景區(qū)設(shè)計(jì)購買兩種設(shè)備的方案;
(2)已知每臺型設(shè)備價(jià)格為3萬元,每臺型設(shè)備價(jià)格為4.4萬元.廠家為了促銷產(chǎn)品,規(guī)定貨款不低于40萬元時(shí),則按9折優(yōu)惠;問:采用(1)設(shè)計(jì)的哪種方案,使購買費(fèi)用最少,為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,D、E是BC邊上的點(diǎn),BD:DE:EC=3:2:1,M在AC邊上,CM:MA=1:2,BM交AD,AE于H,G,則BH:HG:GM等于( )
A. 4:2:1 B. 5:3:1 C. 25:12:5 D. 51:24:10
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖1,AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=α,AD、BE相交于點(diǎn)M,連接CM.
(1)求證:BE=AD;并用含α的式子表示∠AMB的度數(shù);
(2)當(dāng)α=90°時(shí),取AD,BE的中點(diǎn)分別為點(diǎn)P、Q,連接CP,CQ,PQ,如圖2,判斷△CPQ的形狀,并加以證明.
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