Question

【題目】平面直角坐標(biāo)系內(nèi)一點(diǎn)M（x,y）（x≠0），若則稱k為點(diǎn)M的“傾斜比”，如圖，⊙B與y軸相切于點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,5),點(diǎn)P為⊙B上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P的“傾斜比”k的最小值是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

作PH⊥x軸于H，如圖，設(shè)P（x，y），利用性對(duì)于得到點(diǎn)P的“傾斜比”k=tan∠POH，則點(diǎn)OP與⊙B相切于P點(diǎn)時(shí)，∠POH最小，點(diǎn)P的“傾斜比”k有最小值，連接BP、BA，作BD⊥x軸于D，交OP于C，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得到BA⊥y軸，BP⊥OP，BA=BP=3，證明△OCD≌△BCP得到BC=OC，設(shè)CD=t，則BC=OC=5-t，利用勾股定理得到22+t2=（5-t）2，解方程求出t得到tan∠POH=，從而得到點(diǎn)P的“傾斜比”k的最小值．

解：作PH⊥x軸于H，如圖，

設(shè)P（x，y），
∵點(diǎn)P的“傾斜比” =tan∠POH，

∴當(dāng)點(diǎn)P的“傾斜比”k取最小值時(shí)，∠POH最小，
∴點(diǎn)OP與⊙B相切于P點(diǎn)時(shí)，∠POH最小，點(diǎn)P的“傾斜比”k有最小值，
連接BP、BA，作BD⊥x軸于D，交OP于C，如圖，
∵⊙B與y軸相切于點(diǎn)A，OP切⊙B于P，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，5），
∴BA⊥y軸，BP⊥OP，BA=BP=3，
∴OD=3，
在△OCD和△BCP中

∴△OCD≌△BCP（AAS），
∴BC=OC，
設(shè)CD=t，則BC=OC=5-t，
在Rt△OCD中，22+t2=（5-t）2，解得t= ，
即CD=，
∴tan∠POH= ，
即點(diǎn)P的“傾斜比”k的最小值是．
故選：D．