【題目】如圖所示,在平面直角坐標(biāo)系中,過點A(﹣ ,0)的兩條直線分別交y軸于B、C兩點,且B、C兩點的縱坐標(biāo)分別是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的兩個根

(1)求線段BC的長度;
(2)試問:直線AC與直線AB是否垂直?請說明理由;
(3)若點D在直線AC上,且DB=DC,求點D的坐標(biāo);
(4)在(3)的條件下,直線BD上是否存在點P,使以A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形?若存在,請直接寫出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】
(1)

解:∵x2﹣2x﹣3=0,

∴x=3或x=﹣1,

∴B(0,3),C(0,﹣1),

∴BC=4,


(2)

解:∵A(﹣ ,0),B(0,3),C(0,﹣1),

∴OA= ,OB=3,OC=1,

∴OA2=OBOC,

∵∠AOC=∠BOA=90°,

∴△AOC∽△BOA,

∴∠CAO=∠ABO,

∴∠CAO+∠BAO=∠ABO+∠BAO=90°,

∴∠BAC=90°,

∴AC⊥AB;


(3)

解:設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b,

把A(﹣ ,0)和C(0,﹣1)代入y=kx+b,

,

解得: ,

∴直線AC的解析式為:y=﹣ x﹣1,

∵DB=DC,

∴點D在線段BC的垂直平分線上,

∴D的縱坐標(biāo)為1,

∴把y=1代入y=﹣ x﹣1,

∴x=﹣2 ,

∴D的坐標(biāo)為(﹣2 ,1),


(4)

解:設(shè)直線BD的解析式為:y=mx+n,直線BD與x軸交于點E,

把B(0,3)和D(﹣2 ,1)代入y=mx+n,

解得 ,

∴直線BD的解析式為:y= x+3,

令y=0代入y= x+3,

∴x=﹣3 ,

∴E(﹣3 ,0),

∴OE=3 ,

∴tan∠BEC= = ,

∴∠BEO=30°,

同理可求得:∠ABO=30°,

∴∠ABE=30°,

當(dāng)PA=AB時,如圖1,

此時,∠BEA=∠ABE=30°,

∴EA=AB,

∴P與E重合,

∴P的坐標(biāo)為(﹣3 ,0),

當(dāng)PA=PB時,如圖2,

此時,∠PAB=∠PBA=30°,

∵∠ABE=∠ABO=30°,

∴∠PAB=∠ABO,

∴PA∥BC,

∴∠PAO=90°,

∴點P的橫坐標(biāo)為﹣ ,

令x=﹣ 代入y= x+3,

∴y=2,

∴P(﹣ ,2),

當(dāng)PB=AB時,如圖3,

∴由勾股定理可求得:AB=2 ,EB=6,

若點P在y軸左側(cè)時,記此時點P為P1,

過點P1作P1F⊥x軸于點F,

∴P1B=AB=2 ,

∴EP1=6﹣2 ,

∴sin∠BEO= ,

∴FP1=3﹣ ,

令y=3﹣ 代入y= x+3,

∴x=﹣3,

∴P1(﹣3,3﹣ ),

若點P在y軸的右側(cè)時,記此時點P為P2,

過點P2作P2G⊥x軸于點G,

∴P2B=AB=2

∴EP2=6+2 ,

∴sin∠BEO= ,

∴GP2=3+ ,

令y=3+ 代入y= x+3,

∴x=3,

∴P2(3,3+ ),

綜上所述,當(dāng)A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形時,點P的坐標(biāo)為(﹣3 ,0),(﹣ ,2),(﹣3,3﹣ ),(3,3+ ).


【解析】本題考查二次函數(shù)的綜合問題,涉及一元二次方程的解法,相似三角形的判定,等腰三角形的性質(zhì),垂直平分線的判定等知識,內(nèi)容較為綜合,需要學(xué)生靈活運用所知識解決.(1)解出方程后,即可求出B、C兩點的坐標(biāo),即可求出BC的長度;(2)由A、B、C三點坐標(biāo)可知OA2=OCOB,所以可證明△AOC∽△BOA,利用對應(yīng)角相等即可求出∠CAB=90°;(3)容易求得直線AC的解析式,由DB=DC可知,點D在BC的垂直平分線上,所以D的縱坐標(biāo)為1,將其代入直線AC的解析式即可求出D的坐標(biāo);(4)A、B、P三點為頂點的三角形是等腰三角形,可分為以下三種情況:①AB=AP;②AB=BP;③AP=BP;然后分別求出P的坐標(biāo)即可.
【考點精析】掌握因式分解法和線段垂直平分線的判定是解答本題的根本,需要知道已知未知先分離,因式分解是其次.調(diào)整系數(shù)等互反,和差積套恒等式.完全平方等常數(shù),間接配方顯優(yōu)勢;和一條線段兩個端點距離相等的點,在這條線段的垂直平分線上.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】已知:如圖,在菱形ABCD中,點E,O,F(xiàn)分別為AB,AC,AD的中點,連接CE,CF,OE,OF.

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A、B在數(shù)軸上分別表示兩個數(shù)a、bA、B兩點間的距離記為|AB|,O表示原點.當(dāng)A、B兩點中有一點在原點時,不妨設(shè)點A為原點,如圖1,則|AB|=|OB|=|b|=|a-b|;當(dāng)AB兩點都不在原點時,

①如圖2,若點A、B都在原點的右邊時,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|;

②如圖3,若點A、B都在原點的左邊時,|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=-b-(-a)=|a-b|;

③如圖4,若點A、B在原點的兩邊時,|AB|=|OB|+|OA|=|b|+|a|=-b+a=|a-b|.

回答下列問題:

(1)綜上所述,數(shù)軸上A、B兩點間的距離為|AB|=______.

(2)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為3,點B表示的數(shù)為-4,則A、B兩點間的距離為______;

(3)若數(shù)軸上的點A表示的數(shù)為x,點B表示的數(shù)為-2,則|AB|=______,若|AB|=3,則x的值為______.

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(1)A、B兩點之間的距離是米,甲機(jī)器人前2分鐘的速度為米/分;
(2)若前3分鐘甲機(jī)器人的速度不變,求線段EF所在直線的函數(shù)解析式;
(3)若線段FG∥x軸,則此段時間,甲機(jī)器人的速度為米/分;
(4)求A、C兩點之間的距離;
(5)直接寫出兩機(jī)器人出發(fā)多長時間相距28米.

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1)請在圖中建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系,并寫出圖書館B位置的坐標(biāo);

2)若體育館位置坐標(biāo)為C(-3,3),請在坐標(biāo)系中標(biāo)出體育館的位置,并順次連接學(xué)校、圖書館、體育館,得到△ABC,求△ABC的面積.

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(1)求二次函數(shù)與一次函數(shù)的解析式;
(2)根據(jù)圖象,寫出滿足(x+2)2+m≥kx+b的x的取值范圍.

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(1)如圖1,當(dāng)圓心O在AB邊上時,求證:AC=2OH;
(2)如圖2,當(dāng)圓心O在△ABC外部時,連接AD、CD,AD與BC交于點P,求證:∠ACD=∠APB;
(3)在(2)的條件下,如圖3,連接BD,E為⊙O上一點,連接DE交BC于點Q、交AB于點N,連接OE,BF為⊙O的弦,BF⊥OE于點R交DE于點G,若∠ACD﹣∠ABD=2∠BDN,AC=5 ,BN=3 ,tan∠ABC= ,求BF的長.

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